BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Komplex függvénytan
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
alk. mat. mm1c1kf5a
mm1c2kf5a
5 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Analízis3E-a (mm1c1an3a) vagy
Analízis3E-m (mm1c1an3m)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Komplex számok, sorozatok és sorok konvergenciája, limsup, liminf, folytonosság (egy és többváltozós), differenciálhatóság (egy és többváltozós), integrálszámítás , hatványsorok.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja a komplex függvénytan felépítése és alkalmazása a valós analízis és a klasszikus algebra néhány kérdésében. A tárgy kiválóan alkalmas a számolási készség fejlesztésére, ami az alkalmazott matematikus szakirányon alapvetően fontos. Az elsajátított ismereteknek fizikai alkalmazásai is vannak (pl. a hidrodinamikában).
Irodalom
  • Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan. 2. javított kiadás, ELTE, 2002.
  • Petruska György: Komplex függvénytan. Nemzeti Tankönyvkiadó, 6. kiadás, 1998.
  • B. A. Fuksz – B.V. Sabat: Komplex változós függvények és néhány alkalmazásuk.
Tematika
  • Reguláris függvények. Komplex differenciálhatóság, Cauchy-Riemann egyenletek. Hatványsorok, az összegfüggvény regularitása, elemi függvények. Komplex vonalintegrál, primitív függvény. Cauchy alaptétel. Cauchy integrálformulája. Hatványsorba fejthetőség. Unicitás tétel. Maximum elv. Schwarz lemma. Együttható becslés, Liouville tétele, az algebra alaptétele. Laurent sorok, Laurent sorba fejthetőség.
  • Izolált szingularitások. Izolált szingularitások definíciója és osztályozásuk, az osztályok leírása a határérték segítségével. Casorati-Weierstrass tétel. Reziduum definíciója, reziduum tétel. Improprius integrálok kiszámítása, sorok összegzése a reziduum tétel segítségével. Argumentum elv. Rouché tétele. Lokális értékeloszlás.
  • Konform leképezések. Konform leképezések definíciója. Lineáris törtfüggvények. Egyszeresen összefüggő tartományok. A konform leképezések alaptétele. Weierstrass tételei. Hurwitz tétele Vitali-Montel tétel. Tükrözési elv.
  • Harmonikus függvények. A Laplace egyenlet. Kapcsolat a reguláris függvényekkel. Maximum és minimum elv. Poisson formula. Kapcsolat a Fourier sorokkal.