BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Analízis3
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 2 kollokvium +
gyak. jegy
tanári mm1c1an3t
mm1c2an3t
3 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Analízis2E (mm1c1an2) vagy
Az analízis megalapozásaE (mm1c1ap2)
Erős:
Algebra1E (mm1c1al1)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Analízis2 vagy Az analízis megalapozása, elemi algebra.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja a matematikai analízis további legfontosabb fejezeteinek (Függvénysorozatok, függvénysorok, Metrikus terek, többváltozós függvények folytonossága, többváltozós függvények differenciálása) bemutatása.
Irodalom
  • Laczkovich Miklós-T.Sós Vera: Analízis I-II. Egyetemi jegyzet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2005, 2007.
  • Petruska György: Analízis I-II. Egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, 1988.
  • B. P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, 1987.
  • Császár Ákos: Valós Analízis I-II. Tankönyvkiadó, 1988.
  • Walter Rudin: A matematikai analízis alapjai. Műszaki Könyvkiadó, 1978.
Tematika
  • Függvénysorozatok, függvénysorok. Egyenletes konvergencia. A limeszfüggvény, illeteve összegfüggvény határértéke, folytonossága, differenciálhatósága, integrálhatósága. Hatványsorok, Taylor-sorok, konkrét függvények előállítása Taylor-soruk összegeként.
  • A folytonosság és a függvényhatárérték fogalmának általánosítása. Metrikus terek, gömbök, nyílt, illetve zárt halmazok, konvergens pontsorozatok, Cauchy-sorozatok, teljes terek. Függvények határértéke és folytonossága, átviteli elvek, kompozíció határértéke, illetve folytonossága, többváltozós függvény folytonossága és parciális folytonossága. Kontrakciók, a Banach-féle fixponttétel.
  • Kompakt halmazok az m-dimenziós euklideszi térben. Kompakt halmazokon értelmezett folytonos függvények tulajdonságai.
  • Többváltozós függvények differenciálszámítása. Lineáris transzformációk normája. Parciális deriváltak, iránymenti deriváltak, differenciálhatóság; a differenciálhatóság ekvivalens megfogalmazásai általában, illetve a valós változós vektorértékű függvények esetében, kétszer differenciálható számértékű függvény, első és második differenciál, gradiens, Jacobi-mátrix, Hesse-féle mátrix; Young tétele. A kompozíció differenciálhatósága. A Lagrange-féle középértéktétel általánosításának lehetőségei, illetve korlátai. A másodrendű Taylor-formulák általánosítása kétszer differenciálható számértékű függvényekre. Implicitfüggvény-tétel (bizonyítás csak két dimenzióban). Szélsőérték-feladatokkal kapcsolatos szükséges, illetve elégséges feltételek.