BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Algebra3
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 2 kollokvium +
gyak. jegy
tanári mm1c1al3t
mm1c2al3t
3 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Algebra2E (mm1c1al2)
Erős:
Számelmélet1E (mm1c1se1)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Klasszikus és lineáris algebra, elemi számelmélet.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja az absztrakt algebrai szemléletmód bemutatása olyan alkalmazásokon keresztül, melyek a középiskolai tananyaggal kapcsolatos geometriai szerkeszthetőségi, kombinatorikai, valamint elemi számelméleti problémák megoldásakor merülnek fel.
Irodalom
  • Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.
  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. TypoTeX Kiadó, 2007. Információk, kiegészítések.
Tematika
  • Gyűrű additív és multiplikatív csoportja, geometriai transzformációk csoportjai. A Klein-csoport, a diédercsoport és a kvaterniócsoport. A szimmetrikus és az alternáló csoport, ciklusfelbontás.
  • Elemrend, hatvány rendje. Izomorfizmus, módszerek az izomorfia eldöntésére. Ciklikus csoportok, ezek izomorfia-típusai. A kis elemszámú csoportok leírása. Homomorfizmus, példák. Részcsoport, mellékosztály, index, Lagrange tétele. Egy elemmel generált részcsoport, elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat-tétel. A ciklikus csoportok részcsoportjai és elemrendjei.
  • Permutációcsoport, pálya, stabilizátor, összefüggésük, alkalmazások leszámlálási feladatokra. A direkt szorzat. Elem rendje a direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus, primitív gyökök a számelméletben. A véges Abel-csoportok alaptétele.
  • Gauss-egészek, norma, egységek, maradékos osztás, euklideszi gyűrű, Gauss-prímek, a számelmélet alaptétele, két négyzetszám tétel. Példa nem alaptételes gyűrűre. További nevezetes diofantikus egyenletek.
  • Testbővítések, algebrai szám foka és minimálpolinomja, az egyszerű algebrai bővítések szerkezete. Testbővítés foka, fokszámtétel. Az algebrai számok testet alkotnak, algebrai szám gyöke is algebrai. Nevezetes transzcendens számok. Geometriai szerkeszthetőség, nevezetes szerkesztési problémák. Rövid mese az algebrai egyenletek gyökjelekkel való megoldhatóságáról.
  • Részgyűrű, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus. Karakterisztika, prímtest, véges testek. A komplex számok teste nem rendezhető. A kvaterniótest, a számfogalom lezárása.