BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Geometria2
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
matematikus mm1c1ge3m
mm1c2ge3m
3 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Geometria1E (mm1c1ge2)
Erős:
Analízis2E (mm1c1an2) vagy
Az analízis megalapozásaE (mm1c1ap2)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Gyenge:
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
A tárgy az affin és konvex geometria alapfogalmaira, valamint az absztrakt algebra és az analízis bevezető fogalmaira épít.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja a magasabb dimenziós euklideszi geometria fogalmainak, eszközrendszerének kiépítése, és néhány nevezetes eredményének a tárgyalása.
Irodalom
  • Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti tankönyvkiadó, 1960-1999.
  • Marcel Berger: Geometry I. Springer, 1987.
  • Moussong Gábor: Geometria. Internetes jegyzet.
Tematika
  • Euklideszi izometriák. Az euklideszi tér és az izometria fogalma. Eltolások és ortogonális transzformációk. Az izometriák természetes felbontása ortogonális transzformáció és eltolás kompozíciójára. Az izometriák osztályozása 2 és 3 dimenzióban.
  • Ortogonális felbontások, vetítések, szimmetriák, tükrözések. Affin alterek szöge. Izometriák előállítása tükrözések szorzataként.
  • Ortogonális csoportok. Topológiai és algebrai tulajdonságok. Az SO(3) csoport egyszerű volta. A kvaterniók geometriája.
  • Szabályos politópok. Szabályos sokszögek és szabályos poliéderek szimmetriacsoportjai mint az O(2) és az O(3) csoport véges részcsoportjai. Szabályos politópok fogalma és konstrukciói. A szabályos politópok osztályozása magasabb dimenzióban.
  • Hasonlóságok. Hasonlósági transzformációk euklideszi térben. A hasonlósági transzformációk csoportjának szerkezete, a hasonlóságok koordinátás leírása. Gömbtartó leképezések.
  • Inverzív geometria. Gömbök és affin alterek kölcsönös helyzete, szöge. Hatvány, hatványhipersík. Gömbre vonatkozó inverzió euklideszi térben. Affin alterek és gömbök képe inverziónál. Érintkezéstartás, szögtartás.
  • Sztereografikus vetítés és tulajdonságai. A gömbi tükrözések és az inverziók közötti kapcsolat.
  • Euklideszi tér inverzív bővítése. Möbius-transzformációk inverzív térben és gömbön. Irányítástartó Möbius-transzformációk. A Möbius-transzformációk Poincaré-féle kiterjesztése.
  • Térfogat és felszín. A térfogat fogalma és főbb tulajdonságai euklideszi térben. Konvex testek approximációja politópokkal. Golyók térfogata. Politópok és konvex testek felszíne. A felszín monotonitása. Golyók felszíne.
  • Hausdorff-metrika. A térfogat és a felszín mint folytonos függvények. Blaschke kiválasztási tétele.
  • Paralleltartományok szerkezete, a Steiner–Minkowski-tétel. Steiner-féle szimmetrizáció. A felszín változása szimmetrizációnál.
  • Blaschke tétele a gömbről. Az izodiametrikus és az izoperimetrikus egyenlőtlenség.