BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Komplex függvénytan kiegészítés
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
1 + 0 1 + 0 kollokvium matematikus mm1c1fk5m 5 ajánlott
Erős Gyenge előfeltételek
Előadás
Gyenge:
Megjegyzések
  • A Komplex függvénytannal párhuzamosan folyik, annak ajánlott kiegészítése.
  • A tantárgy oktatásának módja: Az előadás az alapkurzussal együtt kerül megtartásra összesen heti 3 órában, a kiegészítő kurzus témáira elsősorban a félév utolsó harmadában kerül sor.
  • Követelmény:
    • Sikeres felmérő zárthelyi írása az alábbi Szükséges előismeretek pontban felsorolt témákból; a zárthelyi az előadóval egyeztetett időpontban egyszer ismételhető.
    • A kollokviumot vagy az alapkurzus kollokviumával egy időben vagy annak sikeres letétele után lehet letenni. Az első esetben is külön, egymástól független osztályzat jár a két tárgyra, kivéve, hogy elégtelen alapkurzusvizsga elégtelen jegyet von maga után a kiegészítő kurzusra is.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Komplex számok (műveletek, geometriai ábrázolás), euklideszi terek elemi topológiája (nyílt, zárt, összefüggő halmazok), sorozatok, sorok (hatványsorok), egy- és többváltozós függvények (határérték, limesz szuperior és inferior, folytonosság), többváltozós függvények differenciálása, egyváltozós Riemann-integrál, vonalintegrál euklideszi terekben.
A tantárgy célkitűzése
A Komplex függvénytan alapkurzushoz képest mélyebb és bővebb ismereteket nyújtani egyrészt részletes bizonyításokkal ott, ahol az alapkurzusban megelégszünk a tételek állításának a megértésével, másrészt az alapkurzus csupa klasszikus témájának a kiegészítésével, például egészfüggvények értékeloszlásával, megteremtve ezzel az előfeltételt az elmélet modern, az MSc-ben közelebbről bemutatandó ágaihoz.
Irodalom
  • Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan. Komplex függvénytani füzetek III. (2002), 2. javított kiadás. (Az előadást pontosan követi.)
  • Petruska György: Komplex függvénytan. Nemzeti Tankönyvkiadó (1998), 6. kiadás. (Más felépítésben, de bővebb anyagot ölel fel.)
  • L.V. Ahlfors: Complex Analysis. McGraw–Hill Book Company (1979). (Kitűnő bevezetés a modern komplex függvénytan egyik legnagyobb alakjától.)
Tematika
  • Kiegészítés részletes bizonyításokkal. Cauchy integáltételének általános alakja. Reguláris függvények sorozatai. Reguláris függvény lokális értékeloszlása. A konform leképezések Riemann-féle alaptétele egyszeresen összefüggő tartományok leképezéséről. Caratheodory tétele konform leképezések határra való kiterjesztéséről. Schwarz–Christoffel-formula sokszögek konform leképezésére. Harmonikus és szubharmonikus függvények, maximumelv, harmonikus függvények jellemzése a középértéktulajdonsággal.
  • Egészfüggvények értékeloszlása. Picard tétele. Egészfüggvény rendje. Sehol sem eltűnő végesrendű egészfüggvény, szubordináció. Végesrendű egészfüggvény gyökeinek konvergenciaexponense, reguláris függvény gyökszámának a becslése, Schwarz-lemma általánosítása. Mittag-Leffler-feladat előírt szingularitásokkal rendelkező függvények konstrukciójára. Weierstrass-feladat egészfüggvények konstruálására előírt gyökökkel, Weierstrass-féle szorzat és becslése. Végesrendű függvény kanonikus alakja. Picard tételének Borel-féle kvantitatív formája.