BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Számelmélet2
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 0 2 + 0 kollokvium matematikus mm1c1se4m 4 köt. vál
Erős Gyenge előfeltételek
Előadás
Erős:
Algebra3G-m (mm1c2al3m)
Erős:
Analízis2E (mm1c1an2) vagy
Az analízis megalapozásaE (mm1c1ap2)
Szükséges előismeretek
A tárgy a bevezető algebra, analízis és számelmélet anyag ismeretét követeli meg.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja a számelmélet haladóbb irányainak bemutatása.
Irodalom
  • Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.
  • Sárközy András, Surányi János: Számelmélet feladatgyűjtemény. Egyetemi jegyzet.
  • Szalay Mihály: Számelmélet. TypoTeX Kiadó, 1998.
  • Sárközy András: Számelmélet. Műszaki Könyvkiadó, 1976.
Tematika
  • Az analitikus és prímszámelmélet elemei. A Riemann-féle zeta-függvény definíciója 1-nél nagyobb valós számokra, Euler-féle szorzat-előállítása, alkalmazás végtelen sok prímszám létezésének bizonyítására. Nagy hézagok prímek között. Dirichlet tétele számtani sorozatok prímjeiről, speciális esetek.
  • Diofantikus egyenletek. A két négyzetszám probléma, Gauss-egészek. Más kvadratikus bővítések, van kvadratikus bővítés egyértelmű prímfaktorizáció nélkül. A Fermat-sejtés, részeredmények. A három és négy négyzetszám probléma, Lagrange tétele. A Waring probléma, g(k), G(k), alsó becslésük. Pell-egyenletek.
  • Diofantikus approximáció. Dirichlet approximációs tétele.
  • Az algebrai számelmélet elemei. Algebrai szám, kanonikus polinom, tulajdonságai, algebrai egészek, a racionális számtest egyszerű algebrai bővítése. Transzcendens szám, Liouville tétele, transzcendens szám konstrukciója.
  • Kitekintés további területekre. A kombinatorikus számelmélet elemei, Sidon-sorozatok. A generátorfüggvény-módszer, Fibonacci-számok. A geometriai számelmélet elemei, a körprobléma. Egyes számelméleti függvények értékeloszlása, a Hardy-Ramanujan tétel, a valószínűségi számelmélet elemei.
  • Megjegyzés. A fenti anyag egy része csak bizonyítás nélkül, illetve vázlatos felépítésben szerepel.