BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Funkcionálanalízis1
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
matematikus mm1c1fa5m
mm1c2fa5m
5 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Analízis2E (mm1c1an2) vagy
Az analízis megalapozásaE (mm1c1ap2)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Gyenge:
Analízis3E-m (mm1c1an3m)
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Analízis 3 félév, Lebesgue-integrál fogalma, lineáris algebra.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy bevezetést ad a lineáris funkcionálanalízis modern elméletébe. Ennek kapcsán mintegy szintézisét adja a valós és komplex függvénytan, az algebra, a mérték és integrálelméletben alapozásként megtanultaknak.
Irodalom
  • Riesz, Szőkefalvi-Nagy: Funkcionálanalízis. Egyetemi tankönyv.
  • Losonczi László: Funkcionálanalízis I. Egyetemi jegyzet.
Tematika
  • Hilbert terek: belső vagy skalár-szorzat, Cauchy-Bunyakovszkij-Schwarz egyenlőtlenség félskalár-szorzatra, 2, L2-terek. Riesz-tétele merőleges komponensekre való felbontásra: altértől való távolság. Ortonormált rendszerekre Hilbert térben: általánosított Fourier-sorfejtés: Bessel-egyenlőtlenség, Parseval-azonosság, Hilbert terek izometrikus isomorfikus azonosítása. Folytonos lineáris funkcionálok Hilbert téren. Riesz reprezentációs tétele: folytonos lineáris funkcionálok előállítása.
  • Folytonos lineáris operátorok Hilbert téren: operátorok normája, numerikus sugara, adjungáltja, spektruma. Speciális operátorok: önadjungált, unitér, normális operátorok, ortogonális projekciók. Kompakt operátorok Hilbert-téren: Hilbert-Schmidt tétel normális kompakt, önadjungált kompakt operátorokra, mint a mátrixokra vonatkozó főtengely-tétel általánosítása.
  • Banach terek: altértől való távolság, Riesz-lemmája. Baire kategória tétele. Folytonos lineáris funkcionálok normált téren, Hahn-Banach tétel és alkalmazásai, Mazur-Orlicz tétel. Folytonos lineáris operátorok Banach téren: operátorok adjungáltja, spektruma, Neumann sor. Banach-Steinhaus tételek: egyenletes korlátosság és pontonkénti konvergencia tétele. Banach nyílt leképezés és zárt gráf tétele. Kompakt operátorok Banach téren: Riesz-Fredholm elmélet alapjai. Schander tétele, Lomonoszov tétel.