BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

A sokaságok differenciálgeometriája
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
matematikus mm1c1dg6m
mm1c2dg6m
6 ajánlott
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Erős:
Geometria3E-m (mm1c1ge4m)
Előadás
Erős:
Erős:
Geometria3E-m (mm1c1ge4m)
Megjegyzések
  • Az előadásnak kivételesen nem előfeltétele a gyakorlat.
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
  • Topologikus terek, folytonos leképezések, térkonstrukciók.
  • Vektorterek, mátrixok, lineáris leképezések. Bilineáris függvények, skaláris szorzat.
  • Többváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámításának eszközei. Az inverz függvény tétele, az implicit függvény tétele.
  • Paraméterezett görbék és hiperfelületek geometriája az n-dimenziós euklideszi térben.
  • Projektív terek, homogén koordináták, kollineációk. A hiperbolikus geometria modelljei.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja a sokaságok differenciálgeometriájának elméletéből az alapvető fogalmaknak és tételeknek a bemutatása, továbbá felhívni a figyelmet a differenciálgeometriának a fizikával és más tudományterületekkel való kapcsolatára.
Irodalom
  • Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria (Műszaki Könyvkiadó, 1979).
  • Szenthe János: Bevezetés a sima sokaságok elméletébe. (Eötvös Kiadó, 2002).
  • Verhóczki László: Differenciálgeometria II. (interneten elérhető jegyzet: http://www.cs.elte.hu/geometry/vl/vl.htm).
Tematika
  • A topologikus sokaság C-kompatibilis térképei. C-osztályú teljes atlasz. Differenciálható sokaság. Nyílt részsokaság. A sokaságon vett differenciálható függvények. Sima leképezések a sokaságok között. A diffeomorfizmus.
  • A sokaság érintővektorainak értelmezése. A sokaság érintőtere egy adott pontban. A térképezéshez rendelt alapvektorok. A sokaság érintőterére vonatkozó bázistétel. A sima leképezés érintőleképezése (egy adott pontban). Az érintőleképezésekre vonatkozó láncszabály. A sima görbe érintővektorai. Lokális diffeomorfizmus, az inverz leképezés tételének alkalmazása sokaságokra.
  • A részsokaság fogalma. A térképezés koordinátaszeletei mint részsokaságok. A részsokaságra vonatkozó kritérium. A sima leképezés reguláris értékének inverz képe mint részsokaság.
  • Sima vektormezők a sokaságon. Parallelizálható sokaságok. A vektormező integrálgörbéi. Két vektormező Lie-zárójele. A sima vektormezők Lie-algebrája. Nevezetes mátrix-Lie-algebrák.
  • A differenciálható sokaságon vett kovariáns tenzormezők. Kovariáns deriválás (lineáris konnexió). A kovariáns deriválásnak egy adott térképhez tartozó Christoffel-szimbólumai. A sima görbe mentén vett vektormező kovariáns deriváltja. Az érintővektor párhuzamos eltolása egy görbe mentén. A lineáris konnexió torziótenzora és görbületi tenzora. A tenzormező kovariáns deriváltja.
  • Riemann-sokaság. A Levi-Civita-féle lineáris konnexió. A Christoffel-féle szimbólumok kifejezése a metrikus tenzor komponensfüggvényeiből. Geodetikus görbék. A Riemann-sokaság görbületi tenzorára vonatkozó összefüggések. A síkálláshoz rendelt Gauss-görbület. Állandó görbületű terek. Izometriák.
  • Alternáló formák egy vektortéren. Differenciálformák egy sima sokaságon. Külső szorzat. A differenciálformák külső differenciálja. A differenciálforma sima leképezés általi visszahúzása. Térfogati formák.
  • Az egységosztás tétele sokaságon. Irányítható sokaságok. Az irányíthatóság kritériuma. Irányított sokaságon vett kompakt tartójú térfogati forma integrálja. A kompakt Riemann-sokaság térfogata.
  • A differenciálható sokaság reguláris tartománya. Térfogati forma integrálja az irányított sokaság egy kompakt reguláris tartományán. Az általános Stokes-tétel és alkalmazásai.