BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Analízis5
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 0 2 + 0 kollokvium alk. mat. mm1c1an5a 5 köt. vál
Erős Gyenge előfeltételek
Előadás
Erős:
Analízis4E-a (mm1c1an4a)
A tantárgy célkitűzése
Az integrálelmélet folytatása és valós függvénytani vonatkozásainak felépítése.
Irodalom
  • H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Masstheorie. Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1974.
  • P. R. Halmos: Mértékelmélet. Gondolat, Budapest, 1984.
  • E. Hewit, K. Stromberg: Real and abstract analysis. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1969.
  • Járai Antal: Mérték és integrál, felsőoktatási tankönyv. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002.
  • Laczkovich Miklós: Valós függvénytan, egyetemi jegyzet. ELTE, Budapest, 1995.
  • Simon Péter: Analízis V., egyetemi jegyzet. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 1996.
  • Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.
  • A. C. Zaanen, Continuty: Integration and Fourier Theory. Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-London-Paris-Tokio 1989.
  • A. C. Zaanen: Integration. North Holland Publ. Co., Amsterdam 1967.
Tematika
  • Szinguláris mértékek. A Lebesgue-féle felbontás. A gamma-függvény értelmezése, elemi tulajdonságai. Az Rn-beli gömbök Lebesgue-mértéke. Vitali-lemma. Borel-mértékek, regularitás.
  • Mértékek deriválása. Deriválás 0-mértékű halmazon. Szinguláris mérték deriválása. Súlyfüggvénnyel generált mérték deriválása. Abszolút folytonos mérték deriváltja. Előjeles Borel-mérték m.m. deriválható.
  • Monoton függvény, ill. integrálfüggvény deriválása. A Lebesgue-pont fogalma, Lebesgue-tétel. Abszolút folytonosság. Korlátos változású függvények. Kapcsolat az abszolút folytonos mértékekkel. Jordan-tételek. Összefüggés az abszolút folytonos függvények és az integrálfüggvények között. Példa szigorúan monoton, folytonos függvényre, amelynek a deriváltja m.m. nulla.
  • Monoton függvény felbontása abszolút folytonos, szinguláris és tiszta ugrófüggvény összegére. Fubini-tétele mértékekből, ill. függvényekből álló végtelen sorok deriválásáról. A Lebesgue-féle sűrűségi tétel.
  • Integrálás helyettesítéssel. Parciális integrálás.
  • A Hardy-Littlewood-féle maximálfüggvény: (Lp, Lp)-korlátosság, gyenge (1,1)-tulajdonság. Az operátorsorozatok maximáloperátorára vonatkozó gyenge (1,1)-becslés szerepe a konvergenciában. A Hardy-Littlewood-féle maximálfüggvény: (Llog+L, L1)-becslés, (L1, Lp)-korlátosság (0<p<1). Az Llog+L[a,b] függvényosztály. A Hardy-Littlewood-féle maximáloperátorral kapcsolatos Stein-tétel.
  • Operátorok interpolációja, Marcinkiewicz-tételek. A Calderon-Zygmund-féle felbontás.
  • Az Lp-terek duálisa.