BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Differenciálgeometria
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
alk. mat. mm1c1dg6a
mm1c2dg6a
6 köt. vál
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Geometria1E (mm1c1ge2)
Erős:
Algebra2E (mm1c1al2)
Erős:
Analízis3E-m (mm1c1an3m) vagy
Analízis3E-a (mm1c1an3a)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
  • Vektorterek, mátrixok, lineáris leképezések, sajátértékek és sajátvektorok. Bilineáris függvények, skaláris szorzat. Vektoriális szorzat a 3-dimenziós térben.
  • Koordinátageometria. Izometriák a 3-dimenziós euklideszi térben.
  • Többváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámításának eszközei. Az inverz függvény tétele, az implicit függvény tétele.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy egyik célja a klasszikus differenciálgeometria alapvető fogalmainak, módszereinek és tételeinek a bemutatása. Továbbá cél felhívni a hallgatók figyelmét a differenciálgeometria eszközeinek a műszaki gyakorlatban való alkalmazásaira.
Irodalom
  • Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria. Műszaki Könyvkiadó, 1979.
  • Verhóczki László: Differenciálgeometria I. (interneten elérhető jegyzet.)
Tematika
  • Reguláris sima görbe a 3-dimenziós euklideszi térben. A görbe átparaméterezése. Ívhossz. Természetes paraméterezés. A reguláris görbe görbülete. Az egyszerű ív fogalma.
  • Az R3–beli általános típusú görbe kísérő Frenet-bázisa és Cartan-mátrixa. Torzió. Frenet-formulák. A görbe simulóköre egy adott pontban. Az azonos görbülettel és torzióval rendelkező görbék izometrikus kapcsolata. A görbeelmélet alaptétele.
  • A reguláris síkgörbe előjeles görbülete. A síkgörbe evolutája, parallelgörbéi és evolvensei. Zárt síkgörbe körülfordulási száma. Az egyszerű zárt síkgörbe körülfordulási számára vonatkozó tétel.
  • Paraméterezett sima görbék Rn–ben.
  • Sima elemi felület a 3-dimenziós euklideszi térben. Az elemi felületet leíró vektorfüggvény átparaméterezése. Lineáris érintőtér egy felületi pontban. Normális egységvektormező. Az elemi felület adott paraméterezéséhez tartozó első főmennyiségek. A kompakt felületdarab felszíne. A felületi görbe ívhossza. Izometrikus leképezés értelmezése két elemi felület között. A sima felület fogalma. Az R3 téren vett differenciálható valós függvény reguláris értékének inverz képe mint sima felület.
  • Az elemi felület adott paraméterezéséhez tartozó második főmennyiségek. Az érintőirányhoz rendelt normálgörbület. Meusnier tétele. Felületi vektormező iránymenti deriváltja. A lineáris érintőtéren vett Weingarten-leképezés, a második alapforma. Főgörbületek és főirányok. Euler-formula. Szorzatgörbület és középgörbület.
  • Az elemi felület adott paraméterezéséhez rendelt kísérő Gauss-bázis. Christoffel-féle szimbólumok. Az elemi felület stacionárius görbéinek értelmezése. A geodetikus görbéket jellemző differenciálegyenlet-rendszer.
  • Az R3–beli sima felületek pontjainak osztályozása a Gauss-görbület alapján. A felület egy adott pontjában a főirányok meghatározása. Theorema egregium (bizonyítás nélkül).
  • Forgásfelületek és vonalfelületek R3–ban. A lefejthető vonalfelületek alaptípusai. Görbületi vonalak. Dupin tétele, görbületi vonalak másodrendű felületeken. Minimálfelületek.
  • Kitekintés az Rn–beli sima hiperfelületekre.