BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.
Tantárgyleírás
2013.
Differenciálgeometria
Óraszám ea/gy |
Kredit ea/gy |
Számonkérés | Szakirány | Tárgykód ea/gy |
Ajánlott félév |
Státusz |
---|---|---|---|---|---|---|
2 + 2 | 2 + 3 | kollokvium + gyak. jegy |
alk. mat. | mm1c1dg6a mm1c2dg6a |
6 | köt. vál |
Tantárgyfelelős
Erős | Gyenge | előfeltételek | |
---|---|---|---|
Gyakorlat | |||
Erős:
Geometria1E
(mm1c1ge2)
| |||
Erős:
Algebra2E
(mm1c1al2)
| |||
Erős:
| |||
Előadás | |||
Gyenge:
a gyakorlat
|
Megjegyzések
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
- Vektorterek, mátrixok, lineáris leképezések, sajátértékek és sajátvektorok. Bilineáris függvények, skaláris szorzat. Vektoriális szorzat a 3-dimenziós térben.
- Koordinátageometria. Izometriák a 3-dimenziós euklideszi térben.
- Többváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámításának eszközei. Az inverz függvény tétele, az implicit függvény tétele.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy egyik célja a klasszikus differenciálgeometria alapvető fogalmainak, módszereinek és tételeinek a bemutatása. Továbbá cél felhívni a hallgatók figyelmét a differenciálgeometria eszközeinek a műszaki gyakorlatban való alkalmazásaira.
Irodalom
- Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria. Műszaki Könyvkiadó, 1979.
Tematika
- Reguláris sima görbe a 3-dimenziós euklideszi térben. A görbe átparaméterezése. Ívhossz. Természetes paraméterezés. A reguláris görbe görbülete. Az egyszerű ív fogalma.
- Az R3–beli általános típusú görbe kísérő Frenet-bázisa és Cartan-mátrixa. Torzió. Frenet-formulák. A görbe simulóköre egy adott pontban. Az azonos görbülettel és torzióval rendelkező görbék izometrikus kapcsolata. A görbeelmélet alaptétele.
- A reguláris síkgörbe előjeles görbülete. A síkgörbe evolutája, parallelgörbéi és evolvensei. Zárt síkgörbe körülfordulási száma. Az egyszerű zárt síkgörbe körülfordulási számára vonatkozó tétel.
- Paraméterezett sima görbék Rn–ben.
- Sima elemi felület a 3-dimenziós euklideszi térben. Az elemi felületet leíró vektorfüggvény átparaméterezése. Lineáris érintőtér egy felületi pontban. Normális egységvektormező. Az elemi felület adott paraméterezéséhez tartozó első főmennyiségek. A kompakt felületdarab felszíne. A felületi görbe ívhossza. Izometrikus leképezés értelmezése két elemi felület között. A sima felület fogalma. Az R3 téren vett differenciálható valós függvény reguláris értékének inverz képe mint sima felület.
- Az elemi felület adott paraméterezéséhez tartozó második főmennyiségek. Az érintőirányhoz rendelt normálgörbület. Meusnier tétele. Felületi vektormező iránymenti deriváltja. A lineáris érintőtéren vett Weingarten-leképezés, a második alapforma. Főgörbületek és főirányok. Euler-formula. Szorzatgörbület és középgörbület.
- Az elemi felület adott paraméterezéséhez rendelt kísérő Gauss-bázis. Christoffel-féle szimbólumok. Az elemi felület stacionárius görbéinek értelmezése. A geodetikus görbéket jellemző differenciálegyenlet-rendszer.
- Az R3–beli sima felületek pontjainak osztályozása a Gauss-görbület alapján. A felület egy adott pontjában a főirányok meghatározása. Theorema egregium (bizonyítás nélkül).
- Forgásfelületek és vonalfelületek R3–ban. A lefejthető vonalfelületek alaptípusai. Görbületi vonalak. Dupin tétele, görbületi vonalak másodrendű felületeken. Minimálfelületek.
- Kitekintés az Rn–beli sima hiperfelületekre.