BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Bevezetés a differenciálgeometriába
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
matematikus mm1c1dg5m
mm1c2dg5m
5 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Geometria1E (mm1c1ge2)
Erős:
Algebra2E (mm1c1al2)
Erős:
Analízis3E-m (mm1c1an3m)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
  • Vektorterek, mátrixok, lineáris leképezések, sajátértékek és sajátvektorok. Bilineáris függvények, skaláris szorzat. Vektoriális szorzat a 3-dimenziós térben.
  • Koordinátageometria. Izometriák az n-dimenziós euklideszi térben.
  • Többváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámításának eszközei. Az inverz függvény tétele, az implicit függvény tétele.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja a klasszikus differenciálgeometria alapvető fogalmainak, módszereinek és tételeinek a bemutatása.
Irodalom
  • Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria. Műszaki Könyvkiadó, 1979.
  • Verhóczki László: Differenciálgeometria I. (interneten elérhető jegyzet: http://www.cs.elte.hu/geometry/vl/vl.htm).
Tematika
  • Reguláris sima görbe az n-dimenziós euklideszi térben. A görbe átparaméterezése. Ivhossz. Természetes paraméterezés. Az egyszerű ív fogalma. Az Rn–beli általános típusú görbe k-dimenziós simulóalterei, kísérő Frenet-bázisa és Cartan-mátrixa. Görbületi függvények, Frenet-formulák. A görbe simulóköre egy adott pontban. Az azonos görbületi függvényekkel rendelkező görbék izometrikus kapcsolata. A görbeelmélet alaptétele. Általános típusú görbék az affin alterekben.
  • A reguláris síkgörbe előjeles görbülete. A síkgörbe evolutája, parallelgörbéi és evolvensei. Zárt síkgörbe körülfordulási száma. Az egyszerű zárt síkgörbe körülfordulási számára vonatkozó tétel. A konvex zárt síkgörbék jellemzése. A négy csúcspont tétele.
  • Az R3–beli görbe görbületének és torziójának meghatározása. Az R3–beli egyszerű zárt görbe teljes görbületével kapcsolatos tételek.
  • Sima elemi hiperfelület az n-dimenziós euklideszi térben. Az elemi hiperfelületet leíró vektorfüggvény átparaméterezése. Lineáris érintőtér egy felületi pontban. Normális egységvektormező. Az elemi felület adott paraméterezéséhez tartozó első főmennyiségek. A kompakt felületdarab felszíne (térfogata). A felületi görbe ívhossza. Izometrikus leképezés értelmezése két elemi hiperfelület között. A sima hiperfelület fogalma. Az Rn téren vett differenciálható valós függvény reguláris értékének inverz képe, mint sima hiperfelület.
  • Az elemi hiperfelület adott paraméterezéséhez tartozó második főmennyiségek. Az érintőirányhoz rendelt normálgörbület. Meusnier tétele. Felületi vektormező iránymenti deriváltja. A lineáris érintőtéren vett Weingarten-leképezés, a második alapforma. Főgörbületek és főirányok. Euler-formula. Szorzatgörbület és középgörbület. Az umbilikus pontokból álló felületek.
  • Az elemi hiperfelület adott paraméterezéséhez rendelt kísérő Gauss-bázis. Christoffel-féle szimbólumok. A formaprobléma. Gauss-egyenletek és Mainardi–Codazzi-egyenletek. Bonnet-tétele (a felületelmélet alaptétele).
  • A hiperfelület ívhosszra vonatkozó stacionárius görbéinek értelmezése. A stacionárius görbéket jellemző differenciálegyenlet-rendszer (ívhossz szerinti paraméterezésnél). Párhuzamos érintő-vektormezők egy felületi görbe mentén. A hiperfelület geodetikus görbéi. A felületi görbe geodetikus görbülete.
  • Az R3–beli sima felületek pontjainak osztályozása a Gauss-görbület alapján. Dupin-indikátrix. A felület egy adott pontjában a főirányok meghatározása. Theorema egregium. Az R3–beli felület Gauss-görbületének felszín szerinti integrálja. Az integrál meghatározása a felület gömbi képének felszíne alapján.
  • Forgásfelületek és vonalfelületek R3–ban. A lefejthető vonalfelületek alaptípusai.