BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Idősorok és többdimenziós statisztika
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
elemző mm1c1is5e
mm1c2is5e
5 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Erős:
Analízis3E-m (mm1c1an3m) vagy
Analízis3E-a (mm1c1an3a) vagy
Analízis3E-t (mm1c1an3t) vagy
Kalkulus3E-e (mm1c1ka3e)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
  • Valószínűségszámításból: Várható érték, momentumok, szórásnégyzet, kovariancia és korreláció. Nevezetes eloszlások. Konvergenciatípusok. Nagy számok törvényei. Centrális határeloszlás tétel. Feltételes valószínűség és feltételes várható érték.
  • Leíró és matematikai statisztikából: Statisztika alapfogalmai: középértékek, kvantilisek, szóródási mérőszámok. Idősorok alapfogalmai. korrelációszámítás. Mintavétel alapfogalmai. Statisztikai becslések, konfidenciaintervallumok. Hipotézisvizsgálat alapfogalmai, normális eloszlásra vonatkozó próbák, chinégyzet próbák. Lineáris regresszió.
  • Kalkulus3-ból: Fourier sorok. A Fourier sorok alkalmazásai.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja az idősorok alapvető fogalmainak, elemzésük legegyszerűbb módszereinek bemutatása, valamint a többdimenziós statisztika legelemibb alapismereteinek elsajátíttatása a hallgatókkal. Az akkreditált tematikában szereplő tananyag keretein belül elsősorban az alapvető fogalmakat, tételeket, módszereket tárgyaljuk igen részletesen. Ezért a tárgy elsősorban az elemző szakirány igényeit tartja szem előtt.
Irodalom
    Ajánlott:
    • Feller W.: Bevezetés a valószínűségszámításba és alkalmazásaiba. Műszaki Kiadó, 1978.
    • S. Karlin-H. Taylor: Sztochasztikus folyamatok. Gondolat Kiadó, 1985.
    • Michelberger-Szeidl-Várlaki: Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor analízis. Typotex, 2001.
    • Brockwell, Davis: Introduction to time series and forecasting. Springer. 1996.
    • Rozanov, Yu. A.: Probability Theory, Stochastic Processes and Mathematical Statistics. 1997
    • C. R. Rao: linear statistical inference and its applications. Wiley, 1965.
    Tematika
    • Néhány jól ismert speciális folyamatot (Poisson, Yule, Galton-Watson folyamatok) ismertetünk elsőként. A modellleírások mellett véletlen időpontokban bekövetkező események segítségével is származtatjuk ezeket, és meghatározzuk az ehhez tartozó eloszlásokat. A Galton-Watson folyamatok esetében tárgyaljuk a kihalási valószínűség meghatározásának módját. E folyamatok bemutatásán keresztül érintjük a Markov folyamatok elméletének alapfogalmait is.
    • Stacionárius folyamatok, alapfogalmainak bevezetésével folytatjuk a tárgyat. A gyenge, erős valamint a k-adredű stacionaritás és az ergodicitás fogalmát és kapcsolataikat tisztázzuk. Az összefüggési struktúra leírására bevezetjük az autokovariancia, autokorreláció és parciális autokorreláció függvényeket ismertetjük tulajdonságaikat, és megemlítjük a dinamikus kopulákat, mint egy újabban előtérbe került lehetőséget. Áttérve a frekvenciatartományra heurisztikus értelmezését adjuk a stacionárius idősor Fourier előállításának. Megadjuk a spektrálelőállítást egzakt formában is, kimondjuk a Herglotz tételt, de nem bizonyítjuk.
    • Ezek után definiáljuk az autoregressziós (AR(p)), a mozgóátlag (MA(q)), valamint általánosan az integrált autoregressziós mozgóátlag ARIMA(p,d,q) folyamatot. Feltételt adunk a stacionárius megoldás létezésére, kiszámítjuk fontos speciális esetekben a szórást az autokovariancia függvényt, valamint a spektrálsűrűség függvényt. Rámutatunk, hogy az invertálható ARIMA folyamatok lineáris folyamatok. Bevezetjük az ARCH folyamatokat mint az egyik legegyeszerűbb nemlineáris folyamatot. Megvizsgáljuk az ARCH(1) folyamat stacionárius megoldása létezésének feltételét és a megoldás konstrukcióját, ha a megoldás szórása véges. Továbblépve, általánosan, sztochasztikus rekurziós egyenletek esetén Ljapunov-exponenssel adjuk a stacionárius megoldás létezésének feltételét és kimondjuk a Kesten-Vervaat-Goldie tételt reguláris változású eloszlással bíró stacionárius eloszlás létezéséről. Ezek után térünk vissza az ARCH(1) folyamathoz és áltlánosan második momentum végességének feltételezése nélkül is megadjuk a stacionárius megoldás létezésének feltételét. Ismertetjük a GARCH folyamatokra vonatkozó eredményeket is. Ugyancsak tárgyaljuk ezt a témakört a bilineáris folyamatokra is. A további nemlineáris modellek közül megemlítjük a véletlen együtthatós AR, és a SETAR modelleket.
    • Idősorok becsléselméletének részeként először a várható érték becslésével foglalkozunk. A legjobb lineáris becslés kiszámítása után elemezzük az átlag viselkedését a spektrálmérték tulajdonságai függvényében. Megmutatjuk, hogy ha a {0}-ra koncentrált spektrálmérték pozitív, akkor az átlag még csak nem is konzisztens. Az autokorreláció függvény többféle becslését vizsgáljuk, és rámutatunk, hogy a torzítatlanság helyett fontosabb, hogy az elméletileg helyes pozítív definit tulajdonsággal rendelkezzen a becslés valamint, hogy a becslés szórása ne növekedjék a „lag”, a késleltetés növekedtével. Számítjuk a becslés torzítását, szórását, és határeloszlását. Bemutatjuk a periodogrammot, mint a diszkrét spektrum becslését. A spektrálsűrűségfüggvény becslésére az ablakolás eljárását ismertetjük röviden.
    • A többdimenziós normális eloszlást definiáljuk, megadjuk sűrűségfüggvényét majd rátérünk a várható érték és a szórásmátrix becsléseinek tulajdonságaira. A regresszió feladatával folytatjuk, megadjuk a legkisebb négyzetes becslést, kimondjuk a Gauss Markov tételt. A regresszió „jóságát” jellemző R2 érték és F-próba tárgyalása után rátérünk a magyarázó változók beválasztásának, vagy redukálhatóságának kérdéskörére, definiáljuk a toleranciát és alkalmazzuk a parciális korrelációt. A regresszió bizonytalanságát mérjük a Mahalanobis távolsággal. Outlierek detektálására bevezetjük a Cook távolság fogalmát. A továbbiakban még röviden megemlítjük az egyszempontú szórásanalízis feladatát, valamint kontingenciatáblák elemzését.