BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Geometria1 — intenzív változat
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
3 + 2 3 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
közös mm1c1ge2
mm1c2ge2
2 kötelező
tanári minor mm1c1ge2
mm1c2ge2
6 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Algebra1E (mm1c1al1)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
A tantárgy a középiskolai matematikaanyag ismeretén túl jártasságot követel a vektorterek és lineáris leképezések, mátrixok és determinánsok témakörében.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja az alapvető geometriai ismeretek bemutatása (térelemek és viszonyaik, transzformációk, vektor- és koordinátageometria, konvexitás, sokszög és poliéder). Az intenzív változat azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket teljes mélységükben és általánosságukban, viszonylag absztrakt módon tárgyaljuk. Ez a tárgyalásmód a másodéven választható matematikus szakirány igényeinek is megfelel.
Irodalom
  • Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti tankönyvkiadó, 1960-1999.
  • Marcel Berger: Geometry I. Springer, 1987.
  • Moussong Gábor: Geometria. Internetes jegyzet.
Tematika
  • A vektor geometriai fogalma, vektortérműveletek és skaláris szorzat bevezetése az euklideszi térben.
  • Szimmetrikus bilineáris függvények magasabb dimenziós vektortereken. Euklideszi vektorterek, ortogonalizáció.
  • Véges dimenziós valós vektortér irányítása, irányított vektortér, irányítástartó leképezések.
  • A vektoriális szorzat és a vegyes szorzat bevezetése az irányított háromdimenziós euklideszi térben. Nevezetes vektorazonosságok.
  • Egyenesek, síkok, körök, gömbök egyenletei.
  • A gömbi geometria elemei. Gömbi trigonometriai tételek és gömbháromszögekkel kapcsolatos egyenlőtlenségek. Gömbháromszögek felszíne.
  • Sokszögek és poliéderek. A sokszögekre vonatkozó Jordan-tétel. Sokszögek háromszög-felbontása, a szögösszegtétel. Az Euler-féle poliédertétel. A szabályos poliéderek osztályozása.
  • Affin tér, vektortér affin struktúrája. Affin leképezés, affinitás, affin koordinátarendszer. Affin altér, párhuzamosság. Dilatációk, vetítések, affin szimmetriák.
  • Affin leképezések és affin alterek jellemzése affin kombinációk segítségével. Affin burok, függetlenség, affin bázis.
  • Az osztóviszony és tulajdonságai. Súlyozott pontrendszer súlypontja. Baricentrikus koordináták. Ceva és Menelaosz tételei.
  • Kollineációk és szemiaffin leképezések. Az affin geometria alaptétele.
  • Véges dimenziós valós affin terek: irányítás, félterek, topológiai fogalmak.
  • Konvex halmazok affin térben. A konvexitás jellemzése és a konvex burok előállítása konvex kombinációk segítségével. Minkowski-kombinációk. Carathéodory, Radon és Helly tételei.
  • Konvex halmazok elválasztási tulajdonságai. Támaszhipersíkok és támaszfélterek. Extremális pontok, Krein-Milman-tétel.
  • Konvex poliéderek. A lapok kombinatorikai szerkezete. Konvex politópok. A konvex politóp és a korlátos konvex poliéder fogalmának ekvivalenciája. A politópokra vonatkozó Euler-formula.