BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.
Tantárgyleírás
2013.
Geometria1
— intenzív változat
Óraszám ea/gy |
Kredit ea/gy |
Számonkérés | Szakirány | Tárgykód ea/gy |
Ajánlott félév |
Státusz |
---|---|---|---|---|---|---|
3 + 2 | 3 + 3 | kollokvium + gyak. jegy |
közös | mm1c1ge2 mm1c2ge2 |
2 | kötelező |
tanári minor | mm1c1ge2 mm1c2ge2 |
6 | kötelező |
Tantárgyfelelős
Erős | Gyenge | előfeltételek | |
---|---|---|---|
Gyakorlat | |||
Erős:
Algebra1E
(mm1c1al1)
| |||
Előadás | |||
Gyenge:
a gyakorlat
|
Megjegyzések
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
A tantárgy a középiskolai matematikaanyag ismeretén túl jártasságot követel a vektorterek és lineáris leképezések, mátrixok és determinánsok témakörében.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja az alapvető geometriai ismeretek bemutatása (térelemek és viszonyaik, transzformációk, vektor- és koordinátageometria, konvexitás, sokszög és poliéder). Az intenzív változat azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket teljes mélységükben és általánosságukban, viszonylag absztrakt módon tárgyaljuk. Ez a tárgyalásmód a másodéven választható matematikus szakirány igényeinek is megfelel.
Irodalom
- Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti tankönyvkiadó, 1960-1999.
- Marcel Berger: Geometry I. Springer, 1987.
Tematika
- A vektor geometriai fogalma, vektortérműveletek és skaláris szorzat bevezetése az euklideszi térben.
- Szimmetrikus bilineáris függvények magasabb dimenziós vektortereken. Euklideszi vektorterek, ortogonalizáció.
- Véges dimenziós valós vektortér irányítása, irányított vektortér, irányítástartó leképezések.
- A vektoriális szorzat és a vegyes szorzat bevezetése az irányított háromdimenziós euklideszi térben. Nevezetes vektorazonosságok.
- Egyenesek, síkok, körök, gömbök egyenletei.
- A gömbi geometria elemei. Gömbi trigonometriai tételek és gömbháromszögekkel kapcsolatos egyenlőtlenségek. Gömbháromszögek felszíne.
- Sokszögek és poliéderek. A sokszögekre vonatkozó Jordan-tétel. Sokszögek háromszög-felbontása, a szögösszegtétel. Az Euler-féle poliédertétel. A szabályos poliéderek osztályozása.
- Affin tér, vektortér affin struktúrája. Affin leképezés, affinitás, affin koordinátarendszer. Affin altér, párhuzamosság. Dilatációk, vetítések, affin szimmetriák.
- Affin leképezések és affin alterek jellemzése affin kombinációk segítségével. Affin burok, függetlenség, affin bázis.
- Az osztóviszony és tulajdonságai. Súlyozott pontrendszer súlypontja. Baricentrikus koordináták. Ceva és Menelaosz tételei.
- Kollineációk és szemiaffin leképezések. Az affin geometria alaptétele.
- Véges dimenziós valós affin terek: irányítás, félterek, topológiai fogalmak.
- Konvex halmazok affin térben. A konvexitás jellemzése és a konvex burok előállítása konvex kombinációk segítségével. Minkowski-kombinációk. Carathéodory, Radon és Helly tételei.
- Konvex halmazok elválasztási tulajdonságai. Támaszhipersíkok és támaszfélterek. Extremális pontok, Krein-Milman-tétel.
- Konvex poliéderek. A lapok kombinatorikai szerkezete. Konvex politópok. A konvex politóp és a korlátos konvex poliéder fogalmának ekvivalenciája. A politópokra vonatkozó Euler-formula.