BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.
Tantárgyleírás
2013.
Valószínűségszámítás2
Óraszám ea/gy |
Kredit ea/gy |
Számonkérés | Szakirány | Tárgykód ea/gy |
Ajánlott félév |
Státusz |
---|---|---|---|---|---|---|
2 + 2 | 2 + 3 | kollokvium + gyak. jegy |
alk. mat. | mm1c1vs5a mm1c2vs5a |
5 | alt. vál. |
Erős | Gyenge | előfeltételek | |
---|---|---|---|
Gyakorlat | |||
Erős:
| |||
Erős:
| |||
Előadás | |||
Gyenge:
a gyakorlat
|
Megjegyzések
- A matematikus és alkalmazott matematikus hallgatók választhatnak, hogy ezt a tárgyat, vagy az mm1c1vs5m és mm1c2vs5m kódú, 3+2 óraszámú tárgyat hallgatják.
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
- Bevezető valószínűségszámítás fogalmai. Speciális halmazrendszerek és halmazfüggvények (algebra, szigmaalgebra, mérték). A Lebesgue mérték. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel. A Borel-halmazok jellemzése. A mérhető leképezés fogalma, alaptulajdonságok. Lépcsősfüggvények, integrál. Mérhető függvények integrálja. Az integrál jellemzése és alaptulajdonságai. A Lebesgue-Stieltjes-integrál. A Beppo-Levi tétel, Fatou-lemma, egyéb konvergenciatételek. Az Lp terek értelmezése, Hölder-, Jensen-, Cauchy és Minkowski-egyenlőtlenség. Az Lp–terekre vonatkozó alapvető állítások. A Riemann-integrálhatóság és Lebesgue-integrálhatóság kapcsolata. A szorzatmérték fogalma, Fubini-tétel. Abszolút folytonosság. A Radon-Nikodym-tétel. Előjeles mértékek.
- Topológikus terek, nyílt, zárt halmazok. Metrikus terek.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja az axiomatikus valószínűségszámítás elemeinek, és ezek egyes alkalmazásainak bemutatása.
Irodalom
- Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1968.
- Bognár Jánosné, Mogyoródi József, Prékopa András, Rényi Alfréd, Szász Domokos: Valószínűségszámítás, feladatgyűjtemény. Typotex. 2002.
- Mogyoródi József, Somogyi Árpád: Valószínűségszámítás. Egyetemi jegyzet, 1989.
- Móri Tamás: Diszkrét paraméterű martingálok. Egyetemi jegyzet, ELTE, 1999.
Tematika
- A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle axiómarendszere. Valószínűségi változók eloszlása, eloszlásfüggvénye, sűrűségfüggvénye. A sűrűségfüggvény transzformációja diffeomorfizmus esetén.
- Események, eseményrendszerek, valószínűségi változók függetlensége.
- Valószínűségi változók konvergenciájának alaptípusai. Sztochasztikus, 1 valószínűségű, Lp-beli konvergencia. Kapcsolat az egyes konvergenciafajták között. Egyenletes integrálhatóság.
- Valószínűségeloszlások gyenge konvergenciája. Feszesség, relatív kompaktság. Prohorov tétele.
- Karakterisztikus függvény. Inverziós formula. Folytonossági tétel. Konvergencia Poisson eloszláshoz.
- Centrális határeloszlástétel bizonyítása karakterisztikus függvények segítségével. Berry-Esséen-tétel.
- A feltételes várható érték általános fogalma. Alaptulajdonságok. Kiszámítása. Feltételes sűrűségfüggvény. A feltételes eloszlás reguláris változata.
- Martingálok, megállási idők, maximál-egyenlőtlenségek. Martingál-konvergencia-tétel.
- Doob- és Crickeberg-felbontás.
- Lévy tétele. Kolmogorov-féle erős törvény.
- Független tagú végtelen sorok konvergenciája. Kolmogorov-féle három sor tétel.
- Poisson folyamat, elágazó folyamatok.