BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.
Tantárgyleírás
2013.
Valószínűségszámítás2
Óraszám ea/gy |
Kredit ea/gy |
Számonkérés | Szakirány | Tárgykód ea/gy |
Ajánlott félév |
Státusz |
---|---|---|---|---|---|---|
3 + 2 | 3 + 2 | kollokvium + gyak. jegy |
matematikus | mm1c1vs5m mm1c2vs5m |
5 | alt. vál. |
Erős | Gyenge | előfeltételek | |
---|---|---|---|
Gyakorlat | |||
Erős:
| |||
Erős:
| |||
Előadás | |||
Gyenge:
a gyakorlat
|
Megjegyzések
- A matematikus és alkalmazott matematikus hallgatók választhatnak, hogy ezt a tárgyat, vagy az mm1c1vs5a és mm1c2vs5a kódú, 2+2 óraszámú tárgyat hallgatják.
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
- Bevezető valószínűségszámítás fogalmai.
- Speciális halmazrendszerek és halmazfüggvények (algebra, szigmaalgebra, mérték). A Lebesgue mérték. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel. A Borel-halmazok jellemzése. A mérhető leképezés fogalma, alaptulajdonságok. Lépcsősfüggvények, integrál. Mérhető függvények integrálja. Az integrál jellemzése és alaptulajdonságai. A Lebesgue-Stieltjes-integrál. A Beppo-Levi tétel, Fatou-lemma, egyéb konvergenciatételek. Az Lp terek értelmezése, Hölder-, Jensen-, Cauchy és Minkowski-egyenlőtlenség. Az Lp-terekre vonatkozó alapvető állítások. A Riemann-integrálhatóság és Lebesgue-integrálhatóság kapcsolata. A szorzatmérték fogalma, Fubini-tétel. Abszolút folytonosság. A Radon-Nikodym-tétel. Előjeles mértékek.
- Topológikus terek, nyílt, zárt halmazok. Metrikus terek.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja az axiomatikus valószínűségszámítás elemeinek, és ezek egyes alkalmazásainak bemutatása.
Irodalom
- J. Mogyoródi, Á. Somogyi: Valószínűségszámítás. Egyetemi Jegyzet, 1989.
- L. Galambos: Advanced probability theory. Marcel Dekker, New York, 1995.
Tematika
- A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle axiómarendszere. Valószínűségi változók eloszlása, eloszlásfüggvénye, sűrűségfüggvénye. (Abszolút folytonos és diszkrét eloszlású valószínűségi változók.) A sűrűségfüggvény transzformációja diffeomorfizmus esetén.
- Események, eseményrendszerek, valószínűségi változók függetlensége. A generált szigma-algebra függetlensége. Kolmogorov-féle 0-1 törvény.
- Valószínűségi változók konvergenciájának alaptípusai. Sztochasztikus, 1 valószínűségű, Lp-beli konvergencia. Kapcsolat az egyes konvergenciafajták között. Egyenletes integrálhatóság. De la Vallée Poussin tétele.
- Lévy egyenlőtlenség. Független valószínűségi változók összege sztochasztikus konvergenciájának és 1 valószínűségi konvergenciájának ekvivalenciája. Nagy számok gyenge törvényei. A Feller-féle gyenge törvény.
- Valószínűségeloszlások gyenge konvergenciája. Feszesség, relatív kompaktság. Prohorov tétele. (Az egyik irány csak véges dimenziós Euklidészi tér esetén. [Az eloszlásbeli konvergencia jellemzése az eloszlásfüggvény viselkedésével. Helly-Brey-féle kiválasztási tétel.])
- Karakterisztikus függvény. Inverziós formula. Dobb-egyenlőtlenség. Folytonossági tétel. Centrális határeloszlástétel bizonyítása karakterisztikus függvények segítségével. Lindeberg-Feller-féle határeloszlástétel. A konvergenciagyorsaságról. (Berry-Esséen-tétel.)
- A feltételes várható érték általános fogalma. Alaptulajdonságok. Kiszámítása. Feltételes sűrűségfüggvény. A feltételes eloszlás reguláris változata.
- Martingálok, maximál-egyenlőtlenségek. Martingál-konvergencia-tétel. Példa arra, hogy ennek feltétele nem szükséges az 1 valószínűségi konvergenciához.
- A nagy számok erős törvényei. (Bizonyítás a Kronecker-lemma és martingálkonvergencia segítségével.) Kolmogorov-féle nagy számok erős törvénye.
- Független tagú végtelen sorok konvergenciája. Kolmogorov-féle három sor tétel.
- Martingálok L1 konvergenciája. Reguláris martingálok.