BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Analízis4
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
4 + 2 4 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
matematikus mm1c1an4m
mm1c2an4m
4 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Analízis3E-m (mm1c1an3m)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja a mérték- és integrálelmélet alapjainak ismertetése.
Irodalom
  • Laczkovich Miklós-T.Sós Vera: Analízis II. Egyetemi jegyzet, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007.
  • Petruska György: Analízis II. Egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, 1988.
  • Császár Ákos: Valós analízis II. Tankönyvkiadó, 1988.
  • Komornik Vilmos: Valós analízis előadások II. Typotex Kiadó, 2003.
  • Járai Antal: Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2002.
Tematika
  • Valós vonalintegrálok és integráltételek. Görbék ívhossza. A vonalintegrál és kiszámítása. A Newton-Leibniz-formula. A primitív függvény létezésének feltételei. Divergencia és rotáció; integráltételek (csak a kétdimenziós Gauss tétel bizonyítással).
  • Mértékelmélet. Szigma-algebra, halmazrendszer által generált szigma-algebra, Borel-halmazok. Szigma-additív halmazfüggvény, külső mérték, mérték. Mérték kiterjesztése, teljesség. Lebesgue- és Lebesgue-Stieltjes-féle külső mérték és mérték, regularitás.
  • Mérhető függvények. Majdnem mindenütt való konvergencia. Jegorov tétel. Mértékben való konvergencia. Luzin tétele. Lebesgue- és Lebesgue-Stieltjes-integrál. Függvénysorozatok és -sorok integrálása. Előjeles mérték. Totális variáció. Előjeles mérték Jordan-felbontása. Hahn felbontási tétele. Radon-Nikodym tétel. Abszolút folytonos és szinguláris mértékek. Lebesgue-felbontás. Előjeles Borel-mértékek differenciálhatósága. Fubini tétele mértékek végtelen összegének differenciálására. Lebesgue-féle sűrűségpont tétel. Monoton és korlátos változású függvények differenciálhatósága. Abszolút folytonos függvények, szinguláris függvények, Newton-Leibniz formula. Mértékterek szorzata. Fubini tétele a szorzatmérték szerinti integrálról. Integráltranszformáció. Lp-függvényosztályok. Konvolúció.