Bevezetés a differenciálgeometriába

Megjegyzések

• Az egyetemi órák
• Konzultáció
• Számonkérés

• Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

• Verhóczki László, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.

Szükséges előismeretek

• Vektorterek, mátrixok, lineáris leképezések, sajátértékek és sajátvektorok. Bilineáris függvények, skaláris szorzat. Vektoriális szorzat a 3-dimenziós térben.
• Koordinátageometria. Izometriák az n-dimenziós euklideszi térben.
• Többváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámításának eszközei. Az inverz függvény tétele, az implicit függvény tétele.

A tantárgy célkitűzése

A tárgy célja a klasszikus differenciálgeometria alapvető fogalmainak, módszereinek és tételeinek a bemutatása.

Irodalom

• Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria. Műszaki Könyvkiadó, 1979.
• Verhóczki László: Differenciálgeometria I. (interneten elérhető jegyzet: http://www.cs.elte.hu/geometry/vl/vl.htm).

Tematika

• Reguláris sima görbe az n-dimenziós euklideszi térben. A görbe átparaméterezése. Ivhossz. Természetes paraméterezés. Az egyszerű ív fogalma. Az Rⁿ–beli általános típusú görbe k-dimenziós simulóalterei, kísérő Frenet-bázisa és Cartan-mátrixa. Görbületi függvények, Frenet-formulák. A görbe simulóköre egy adott pontban. Az azonos görbületi függvényekkel rendelkező görbék izometrikus kapcsolata. A görbeelmélet alaptétele. Általános típusú görbék az affin alterekben.
• A reguláris síkgörbe előjeles görbülete. A síkgörbe evolutája, parallelgörbéi és evolvensei. Zárt síkgörbe körülfordulási száma. Az egyszerű zárt síkgörbe körülfordulási számára vonatkozó tétel. A konvex zárt síkgörbék jellemzése. A négy csúcspont tétele.
• Az R³–beli görbe görbületének és torziójának meghatározása. Az R³–beli egyszerű zárt görbe teljes görbületével kapcsolatos tételek.
• Sima elemi hiperfelület az n-dimenziós euklideszi térben. Az elemi hiperfelületet leíró vektorfüggvény átparaméterezése. Lineáris érintőtér egy felületi pontban. Normális egységvektormező. Az elemi felület adott paraméterezéséhez tartozó első főmennyiségek. A kompakt felületdarab felszíne (térfogata). A felületi görbe ívhossza. Izometrikus leképezés értelmezése két elemi hiperfelület között. A sima hiperfelület fogalma. Az Rⁿ téren vett differenciálható valós függvény reguláris értékének inverz képe, mint sima hiperfelület.
• Az elemi hiperfelület adott paraméterezéséhez tartozó második főmennyiségek. Az érintőirányhoz rendelt normálgörbület. Meusnier tétele. Felületi vektormező iránymenti deriváltja. A lineáris érintőtéren vett Weingarten-leképezés, a második alapforma. Főgörbületek és főirányok. Euler-formula. Szorzatgörbület és középgörbület. Az umbilikus pontokból álló felületek.
• Az elemi hiperfelület adott paraméterezéséhez rendelt kísérő Gauss-bázis. Christoffel-féle szimbólumok. A formaprobléma. Gauss-egyenletek és Mainardi–Codazzi-egyenletek. Bonnet-tétele (a felületelmélet alaptétele).
• A hiperfelület ívhosszra vonatkozó stacionárius görbéinek értelmezése. A stacionárius görbéket jellemző differenciálegyenlet-rendszer (ívhossz szerinti paraméterezésnél). Párhuzamos érintő-vektormezők egy felületi görbe mentén. A hiperfelület geodetikus görbéi. A felületi görbe geodetikus görbülete.
• Az R³–beli sima felületek pontjainak osztályozása a Gauss-görbület alapján. Dupin-indikátrix. A felület egy adott pontjában a főirányok meghatározása. Theorema egregium. Az R³–beli felület Gauss-görbületének felszín szerinti integrálja. Az integrál meghatározása a felület gömbi képének felszíne alapján.
• Forgásfelületek és vonalfelületek R³–ban. A lefejthető vonalfelületek alaptípusai.