Geometria3

Megjegyzések

• Az egyetemi órák
• Konzultáció
• Számonkérés

• Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

• Csikós Balázs, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.
• Kiss György, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.

Szükséges előismeretek

A tárgy az elsősorban az euklideszi és affin geometria alapfogalmaira, valamint az absztrakt és lineáris algebra alapfogalmaira épít. Egyes témák megértéséhez hasznos a topológia és analízis bevezető fogalmainak ismerete.

A tantárgy célkitűzése

A tárgy célja a magasabb dimenziós projektjv és hiperbolikus geometria fogalmainak, eszközrendszerének kiépítése, és néhány nevezetes eredményének a tárgyalása.

Irodalom

• Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti tankönyvkiadó, 1960-1999.
• Marcel Berger: Geometry I. Springer, 1987.
• Moussong Gábor: Geometria. Internetes jegyzet.

Tematika

• Projektív geometria

• Projektív terek. A perspektív ábrázolás elemei. Az euklideszi tér kibővítése ideális térelemekkel. Egy affin tér kibővítése projektív térré. Projektív alterek, dimenzió-formula. Ferdetest feletti vektortérhez asszociált projektív terek. Reprezentáló vektorok és homogén koordináták. Desargues tétele. Papposz tétele és az alaptest kommutativitása. A valós projektív sík topológiája. Komplex projektív terek és a Hopf-fibrálás.
• A projektív terek axiomatikus bevezetése. Az n-dimenziós projektív tér illeszkedési axiómái. Az alterek örökölt projektív tér struktúrája. Duális tér, a dualitás elve. Desargues tétele és az illeszkedési axiómák. Kollineációk, izomorf terek. Alterek közti kollineációk kiterjesztése. Centrális axiális kollineációk és a Desargues tétel. Minden n ≥ 3-dimenziós projektív tér és minden desarguesi projektív sík izomorf egy ferdetest feletti projektív térrel, illetve síkkal.
• FPⁿ kollineációi. PGL(FPⁿ) és a testautomorfizmusok által indukált csoport. A projektív geometria alaptétele.
• Kettősviszony. Definíció, tulajdonságok. Egyenesek közti kettősviszonytartó transzformációk. Papposz tétele a perspektív leképezésekről. Steiner-tengely. Harmonikus négyesek, a teljes négyoldal tétele. Fixpontok. Involúciók.
• Alakzatsorok. Algebrai hiperfelületek projektív terei. Sorok. Példák sorokra: hipersíksorok; kör- és gömbsorok, ezek osztályozása; 4 általános helyzetű pontra illeszkedő másodrendű görbék sora. Desargues tétele egy másodrendű felületsor és egy egyenes metszetéről.
• Másodrendű görbék és felületek. Analitikus megadás, regularitás. Konjugáltság, polaritás másodrendű felületre nézve. Érintő. Poláris geometriai szerkesztései. Egy másodrendű felület pontjainak polárisai, a dualitás elvének kiterjesztése. Másodrendű hiperfelületek projektív osztályozása. Kúpszeleti kettősviszony. Pascal és Brianchon tételei. Egy kúpszelet önmagába menő kettősviszonytartó leképezésének Steiner-tengelye. A Steiner-féle fixpont-szerkesztés.

• Hiperbolikus geometria

• F. Klein erlangeni programja. A klasszikus geometriák megadása az erlangeni program szellemében. A Minkowski-féle téridő, Lorentz-csoport, Poincaré-csoport. A hiperbolikus geometria hiperboloid modellje.
• Hiperbolikus trigonometria. A távolság megadása és szögmérés. Pontból egy altérre állított merőleges. A háromszöggeometria képletei. A Cayley-Klein-modell. Egyenesek merőlegessége. A párhuzamosság Bolyai-féle definíciója, a párhuzamossági szög és párhuzamossági távolság.
• Szférák. A gömbök, paraszférák és hiperszférák előállítása a hiperboloid-modell síkmetszeteiként, és modellfüggetlen definícióik.
• A Poincaré-féle konform modellek.