Geometria1 — intenzív változat

Megjegyzések

• Az egyetemi órák
• Konzultáció
• Számonkérés

• Ennél a tárgynál a gyakorlaton is legalább 50%-ban az elméleti anyag elmélyítése történik.
• Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

• Csikós Balázs, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.
• Moussong Gábor, Geometriai Tanszék, Matematikai Intézet.

Szükséges előismeretek

A tantárgy a középiskolai matematikaanyag ismeretén túl jártasságot követel a vektorterek és lineáris leképezések, mátrixok és determinánsok témakörében.

A tantárgy célkitűzése

A tárgy célja az alapvető geometriai ismeretek bemutatása (térelemek és viszonyaik, transzformációk, vektor- és koordinátageometria, konvexitás, sokszög és poliéder). Az intenzív változat azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket teljes mélységükben és általánosságukban, viszonylag absztrakt módon tárgyaljuk. Ez a tárgyalásmód a másodéven választható matematikus specializáció igényeinek is megfelel.

Irodalom

• Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti tankönyvkiadó, 1960-1999.
• Marcel Berger: Geometry I. Springer, 1987.
• Moussong Gábor: Geometria. Internetes jegyzet.

Tematika

• A vektor geometriai fogalma, vektortérműveletek és skaláris szorzat bevezetése az euklideszi térben.
• Szimmetrikus bilineáris függvények magasabb dimenziós vektortereken. Euklideszi vektorterek, ortogonalizáció.
• Véges dimenziós valós vektortér irányítása, irányított vektortér, irányítástartó leképezések.
• A vektoriális szorzat és a vegyes szorzat bevezetése az irányított háromdimenziós euklideszi térben. Nevezetes vektorazonosságok.
• Egyenesek, síkok, körök, gömbök egyenletei.
• A gömbi geometria elemei. Gömbi trigonometriai tételek és gömbháromszögekkel kapcsolatos egyenlőtlenségek. Gömbháromszögek felszíne.
• Sokszögek és poliéderek. A sokszögekre vonatkozó Jordan-tétel. Sokszögek háromszög-felbontása, a szögösszegtétel. Az Euler-féle poliédertétel. A szabályos poliéderek osztályozása.
• Affin tér, vektortér affin struktúrája. Affin leképezés, affinitás, affin koordinátarendszer. Affin altér, párhuzamosság. Dilatációk, vetítések, affin szimmetriák.
• Affin leképezések és affin alterek jellemzése affin kombinációk segítségével. Affin burok, függetlenség, affin bázis.
• Az osztóviszony és tulajdonságai. Súlyozott pontrendszer súlypontja. Baricentrikus koordináták. Ceva és Menelaosz tételei.
• Kollineációk és szemiaffin leképezések. Az affin geometria alaptétele.
• Véges dimenziós valós affin terek: irányítás, félterek, topológiai fogalmak.
• Konvex halmazok affin térben. A konvexitás jellemzése és a konvex burok előállítása konvex kombinációk segítségével. Minkowski-kombinációk. Carathéodory, Radon és Helly tételei.
• Konvex halmazok elválasztási tulajdonságai. Támaszhipersíkok és támaszfélterek. Extremális pontok, Krein-Milman-tétel.
• Konvex poliéderek. A lapok kombinatorikai szerkezete. Konvex politópok. A konvex politóp és a korlátos konvex poliéder fogalmának ekvivalenciája. A politópokra vonatkozó Euler-formula.