Tantárgyleírás
2017.
A sokaságok differenciálgeometriája
- Óraszám (ea+gy): 2 + 2
- Specializáció: matematikus
- Kredit (ea+gy): 3 + 3
- Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
- Tárgykód (ea, gy): sokas_1m0_m17ex, sokas_1m0_m17gx
- Ajánlott félév: 6
- Státusz: ajánlott
| Óraszám
ea(+k) + gy(+k) |
Kredit
ea + gy |
Számonkérés | Specializáció | Tárgykód
ea/gy |
Ajánlott
félév |
Státusz |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 + 2 | 3 + 3 | kollokvium + gyak. jegy |
matematikus | sokas_1m0_m17ex sokas_1m0_m17gx |
6 | ajánlott |
Tantárgyfelelős
| Erős | Gyenge | előfeltételek |
|---|---|---|
| Gyakorlat | ||
|
Erős:
Bevezetés a differenciálgeometriábaE-m
(difgeo1m0_m17ex)
| ||
|
Erős:
Geometria3E-m
(geomet3m0_m17ex)
| ||
| Előadás | ||
|
Gyenge:
a gyakorlat
| ||
Megjegyzések
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
- Topologikus terek, folytonos leképezések, térkonstrukciók.
- Vektorterek, mátrixok, lineáris leképezések. Bilineáris függvények, skaláris szorzat.
- Többváltozós valós függvények differenciál- és integrálszámításának eszközei. Az inverz függvény tétele, az implicit függvény tétele.
- Paraméterezett görbék és hiperfelületek geometriája az n-dimenziós euklideszi térben.
- Projektív terek, homogén koordináták, kollineációk. A hiperbolikus geometria modelljei.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja a sokaságok differenciálgeometriájának elméletéből az alapvető fogalmaknak és tételeknek a bemutatása, továbbá felhívni a figyelmet a differenciálgeometriának a fizikával és más tudományterületekkel való kapcsolatára.
Irodalom
- Szőkefalvi-Nagy Gyula, Gehér László, Nagy Péter: Differenciálgeometria (Műszaki Könyvkiadó, 1979).
- Szenthe János: Bevezetés a sima sokaságok elméletébe. (Eötvös Kiadó, 2002).
- Verhóczki László: Differenciálgeometria II. (interneten elérhető jegyzet: http://www.cs.elte.hu/geometry/vl/vl.htm).
Tematika
- A topologikus sokaság C∞-kompatibilis térképei. C∞-osztályú teljes atlasz. Differenciálható sokaság. Nyílt részsokaság. A sokaságon vett differenciálható függvények. Sima leképezések a sokaságok között. A diffeomorfizmus.
- A sokaság érintővektorainak értelmezése. A sokaság érintőtere egy adott pontban. A térképezéshez rendelt alapvektorok. A sokaság érintőterére vonatkozó bázistétel. A sima leképezés érintőleképezése (egy adott pontban). Az érintőleképezésekre vonatkozó láncszabály. A sima görbe érintővektorai. Lokális diffeomorfizmus, az inverz leképezés tételének alkalmazása sokaságokra.
- A részsokaság fogalma. A térképezés koordinátaszeletei mint részsokaságok. A részsokaságra vonatkozó kritérium. A sima leképezés reguláris értékének inverz képe mint részsokaság.
- Sima vektormezők a sokaságon. Parallelizálható sokaságok. A vektormező integrálgörbéi. Két vektormező Lie-zárójele. A sima vektormezők Lie-algebrája. Nevezetes mátrix-Lie-algebrák.
- A differenciálható sokaságon vett kovariáns tenzormezők. Kovariáns deriválás (lineáris konnexió). A kovariáns deriválásnak egy adott térképhez tartozó Christoffel-szimbólumai. A sima görbe mentén vett vektormező kovariáns deriváltja. Az érintővektor párhuzamos eltolása egy görbe mentén. A lineáris konnexió torziótenzora és görbületi tenzora. A tenzormező kovariáns deriváltja.
- Riemann-sokaság. A Levi-Civita-féle lineáris konnexió. A Christoffel-féle szimbólumok kifejezése a metrikus tenzor komponensfüggvényeiből. Geodetikus görbék. A Riemann-sokaság görbületi tenzorára vonatkozó összefüggések. A síkálláshoz rendelt Gauss-görbület. Állandó görbületű terek. Izometriák.
- Alternáló formák egy vektortéren. Differenciálformák egy sima sokaságon. Külső szorzat. A differenciálformák külső differenciálja. A differenciálforma sima leképezés általi visszahúzása. Térfogati formák.
- Az egységosztás tétele sokaságon. Irányítható sokaságok. Az irányíthatóság kritériuma. Irányított sokaságon vett kompakt tartójú térfogati forma integrálja. A kompakt Riemann-sokaság térfogata.
- A differenciálható sokaság reguláris tartománya. Térfogati forma integrálja az irányított sokaság egy kompakt reguláris tartományán. Az általános Stokes-tétel és alkalmazásai.