Analízis3

Megjegyzések

• Az egyetemi órák
• Konzultáció
• Számonkérés

• Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

• Szőke Róbert, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.
• Bátkai András, Alkalmazott Analízis és Számításmatematikai Tanszék, Matematikai Intézet.

Szükséges előismeretek

A tárgy az Analízis2 vagy az Analízis megalapozása és az Algebra2 tantárgyak ismeretét feltételezi, lehetőleg intenzív változatban.

A tantárgy célkitűzése

A tárgy célja az egyváltozós függvénysorozatok, függvénysorok, hatványsorok és Taylor sorok alaptulajdonságainak és a többváltozós matematikai analízis legfontosabb fejezeteinek (topológiai fogalmak, folytonosság, differenciálhatóság, kettős és hármas Riemann-integrál, vonalintegrál, vektoranalízis) a bemutatása.

Irodalom

• Laczkovich Miklós- T. Sós Vera: Analízis II. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2007.
• G.B.Thomas-M.D.Weil-J.Hass-F.R.Giordano: Thomas-féle Kalkulus 3. Typotex, 2007.
• B. P. Gyemidovics: Matematikai analízis feladatgyűjtemény. Tankönyvkiadó, 1987.
• J. E. Marsden- A. J. Tromba: Vector calculus. W. H. Freeman and Company, New York 2003.

Tematika

• Függvénysorozatok, függvénysorok:

• Pontonkénti és egyenletes konvergencia, limeszfüggvény határértéke, folytonossága, integrálhatósága, deriválhatósága. Kritérium az egyenletes konvergencához. Függvénysorok pontonkénti és egyenletes konvergenciája, Weierstrass kritérium, függvénysorok összegének folytonossága, tagonkénti integrálhatósága és deriválhatósága.
• Hatványsorok: Abel lemma, konvergenciasugár, a konvergenciasár kiszámítása az együtthatókból. Hatványsorok tagonkénti deriválása, integrálása. Taylor sorok: végtelenszer differenciálható függvények és valós analitikus függvények. Binomiális sor, Taylor formula Lagrange maradéktaggal, ill. integrálformulával. Alkalmazások: hibabecslések (Lagrange maradéktaggal, Leibniz sorral), numerikus integrálás, határérték kiszámolása, differenciálegyenlet megoldása hatványsorokkal.

• Többváltozós deriválás:

• Derékszögű-, polár-, henger-, gömbi koordináták, skaláris, vektoriális és vegyesszorzat, n-dimenziós euklideszi tér. Cauchy-Schwarz-Bunyakovszkij egyenlőtlenség.
• Konvergencia és topologikus alapfogalmak (belső pont, határpont, külső pont, torlódási pont, izolált pont, nyílt halmaz, zárt halmaz, kompakt halmaz) euklideszi terekben.
• Többváltozós függvények és leképezések határértéke és folytonossága. Átviteli elv. Kompakt halmazon folytonos függvények.
• Parciális deriváltak, lokális szélsőérték keresés, totális deriválhatóság, grafikon érintősíkja, folytonosan deriválható függvények, iránymenti derivált, gradiens, Lagrange-féle középértéktétel, Lagrange-féle becslés, többszörös deriválhatóság, Young tétel. Leképezések deriválhatósága, koordinátafüggvények deriválhatósága, Jacobi-mátrix. Lánc-szabály. Taylor-formula, kvadratikus alakok, Hesse-mátrix, lokális szélsőértékek és a Hesse-mátrix kapcsolata. Feltételes szélsőértékek, függvény szinthalmazának érintőtere, Lagrange multiplikátor tétel, az implicitfüggvény tétele (bizonyítás nélkül), implicit deriválás, szimmetrikus mátrixok főtengelytétele, szélsőérték-keresés kompakt halmazon értelmezett függvényekre.

• Vektormezők:

• Gradiens mező, potenciálfüggvény, trajektória, nabla operátor, vektormező divergenciája, rotációja, merev test tengely körüli forgása és folyadék sebességmezője rotációjának interpretálása, gradiens mező örvénymentessége, div rot=0, Laplace operátor. Görbék ívhossza. Vektormező görbe menti munkája, vonalintegrál. A vonalintegrál függése a görbe paraméterezésétől, Newton-Leibniz tétel vonalintegrálokra, konzervatív mezők ekvivalens jellemzései, potenciálfüggvény keresése.

• Többszörös integrál:

• A területi integrál definíciója téglalapon, alaptulajdonságok. Folytonos és korlátos függvények integrálhatósága. Fubini tétele téglalapon, Cavalieri elv, integrálás normáltartományokon. Alkalmazások: térfogatszámítás, iterált integrálok kiszámítása. Középértéktétel normáltartományokon. Az integráltranszformáció tétele a síkon (bizonyítás nélkül). A polárkoordinátás helyettesítés.
• A hármas integrál definíciója téglatesten, alaptulajdonságok, folytonos és korlátos függvények integrálhatósága. Fubini tétele, integrálás normáltartományokon. Az integráltranszformáció tétele a térben (bizonyítás nélkül), henger és gömbi koordinátás helyettesítés. Alkalmazások: tömegpont a síkon, a térben. Green tétel normáltartományon, ill. normáltartományokra felbontható tartományon, a Green tétel vektoriális alakja.