Komplex függvénytan

Megjegyzések

• Az egyetemi órák
• Konzultáció
• Számonkérés

• Ennél a tárgynál a gyakorlaton is legalább 50%-ban az elméleti anyag elmélyítése történik.
• A tantárgy oktatásának módja: Az előadáshoz kiegészítő kurzus tartozik, amellyel közösen kerül megtartásra heti 3 órában, de az alaptárgy körülbelül a félév 2/3-áig befejeződik.
• Követelmény: A komplex függvénytani szemlélet elsajátítása, a tételek és fogalmak jobb megértése érdekében a kiegészítő kurzus óráinak a meghallgatása is ajánlott, azoknak is, akik csak az alaptárgyat akarják elvégezni.
• Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

• Halász Gábor, Analízis Tanszék, Matematikai Intézet.

Szükséges előismeretek

Komplex számok (műveletek, geometriai ábrázolás), euklideszi terek elemi topológiája (nyílt, zárt, összefüggő halmazok), sorozatok, sorok, hatványsorok, egy- és többváltozós függvények (határérték, limesz szuperior és inferior, folytonosság), többváltozós függvények differenciálása, egyváltozós Riemann-integrál, vonalintegrál euklideszi terekben.

A tantárgy célkitűzése

A tárgy bevezetés a komplex függvénytanba, és mint ilyen, elsősorban a komplex értékű, komplex változós függvények differenciál- és integrálszámítása. Megmutatjuk, hogy a differenciálhatóság – a valós értelemben vetthez képest – milyen szigorú szerkezetet biztosít a függvény számára, összekapcsolva a legkülönbözőbb tulajdonságait. Ez új szemléletet igényel, másrészt pedig ennek köszönhető a komplex függvények széleskörű alkalmazhatósága. Felvillantunk ilyen alkalmazási lehetőséget is, és (különösen a tárgyhoz kapcsolódó kiegészítő kurzusban) az elmélet modern, az MSc-ben közelebbről bemutatandó ágaira is utalunk.

Irodalom

• Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan. Komplex függvénytani füzetek III. (2002), 2. javított kiadás. (Az előadást pontosan követi.)
• Petruska György: Komplex függvénytan. Nemzeti Tankönyvkiadó (1998), 6. kiadás. (Más felépítésben, de bővebb anyagot ölel fel.)
• L.V. Ahlfors: Complex Analysis. McGraw–Hill Book Company (1979). (Kitűnő bevezetés a modern komplex függvénytan egyik legnagyobb alakjától.)

Tematika

• Ismétlés. Komplex számok. Komplex sík.
• Reguláris függvény. Komplex értelemben vett differenciálhatóság, jellemzése a Cauchy–Riemann-egyenletekkel, geometriai leírása. Reguláris függvények konstruálása hatványsorral. Az exponenciális függvény tulajdonságai, a logaritmus és a hatványfüggvény értelmezésének problémái, többértékű függvény reguláris ága.
• Integráltételek. Komplex vonalintegrál, Newton–Leibniz-szabály. Az integrál függet-lensége az úttól, kapcsolat a primitív függvénnyel. Goursat-lemma és általánosítása, Cauchy integráltétele és integrálformulája konvex tartományon. Görbe indexe. Reguláris függvények sorozatai. A logaritmus reguláris ága.
• Hatványsorba fejtés. Reguláris függvény hatványsorba fejtése. Unicitástétel. Taylor-sor, a logaritmus és a hatványfüggvény Taylor-sora. Lokális aszimptotikus viselkedés általános regularitási pontban. Maximumelv, Schwarz-lemma. Hatványsor együtthatóinak becslése, Liouville tétele korlátos egészfüggvényekről, polinomok jellemzése nagyságrenddel, bizonyítás az algebra alaptételére.
• Izolált szingularitások. Laurent-sor konvergenciája, gyűrűben reguláris függvény Laurent-sorba fejtése. Izolált szingularitások osztályozása, kvantitatív és kvalitatív jellemzésük, a Casorati–Weierstrass-tétel. Reziduumtétel és alkalmazásai improprius integrálok kiszámítására, végtelen sorok összegzésére. Argumentumelv, Rouché tétele, reguláris függvény lokális értékeloszlása.
• Konform leképezések. Lineáris törtfüggvények mint a zárt sík önmagára való konform leképezései. Körlapnak, illetve félsíknak körlapra, illetve félsíkra való leképezése. A konform leképezések Riemann-féle alaptétele egyszeresen összefüggő tartományok leképezéséről. Tükrözési elv. Speciális tartományok leképezése.
• Harmonikus függvények. Definíció mint reguláris függvények valós része. Jellemzés a Laplace-egyenlettel. Körlapon való előállítás a kerületi függvény Poisson-integráljaként. Körvonalon adott függvény harmonikus beterjesztése (Dirichlet-feladat).