Borromeo gyűrűk
BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2017.

Számelmélet1 — intenzív változat

  • Óraszám (ea+gy): 2 + 2
  • Specializáció: közös
  • Kredit (ea+gy): 3 + 3
  • Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
  • Tárgykód (ea, gy): szamel1i0_m17ea, szamel1i0_m17ga
  • Ajánlott félév: 1
  • Státusz: kötelező
Óraszám
ea(+k) + gy(+k)
Kredit
ea + gy
Számonkérés Specializáció Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 3 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
közös szamel1i0_m17ea
szamel1i0_m17ga
1 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat

Megjegyzések

  • A Számelmélet1 normál és intenzív változata egymás között átjárható.
  • Ennél a tárgynál a gyakorlaton is legalább 50%-ban az elméleti anyag elmélyítése történik.

A tematikát kidolgozta:

Szükséges előismeretek

A tárgy a középiskolai matematika anyag ismeretét követeli.

A tantárgy célkitűzése

A tárgy célja az alapvető számelméleti ismeretek bemutatása. Az intenzív változat azt jelenti, hogy az akkreditált tematikában szereplő fogalmakat, tételeket, módszereket teljes mélységükben, bizonyításokkal együtt tárgyaljuk. Ezt azoknak ajánljuk, akik matematikailag érettebbek, azaz a középiskolában az átlagosnál magasabb szintű matematikaoktatásban részesültek, vagy már ott is intenzíven foglalkoztak matematikával.

Irodalom

  • Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.
  • Sárközy András, Surányi János: Számelmélet feladatgyűjtemény. Egyetemi jegyzet.
  • Szalay Mihály: Számelmélet. TypoTeX Kiadó, 1998).
  • Sárközy András: Számelmélet. Műszaki Könyvkiadó, 1976.

Tematika

  • Oszthatóság, legnagyobb közös osztó, euklideszi algoritmus, felbonthatatlan és prímszámok, a számelmélet alaptétele, következmények.
  • Számelméleti függvények: ω(n), Ω(n), d(n), σ(n), φ(n); additív és multiplikatív számelméleti függvények, kapcsolatuk. Összegzési függvény, multiplikatív függvény összegzési függvénye. A Möbius-függvény, összegzési függvénye. Tökéletes számok.
  • Kongruenciák, teljes és redukált maradékrendszer. φ(n) multiplikativitása. Az Euler-Fermat tétel. Lineáris kongruenciák, lineáris diofantikus egyenletek. Az x2-y2=n egyenlet. Pitagoraszi számhármasok. Lineáris kongruencia-rendszerek. Számítógépes alkalmazások.
  • Magasabb fokú kongruenciák. Redukció prímhatvány, ill. prím modulusra. Megoldásszám, fokszámredukció prím modulus esetén. Wilson tétele. xk ≡ 1 (p). k-adik hatványmaradékok. A rend definíciója és tulajdonságai. Hány a van o(a)=k-val? Primitív gyök, index. Kvadratikus maradékok. A Legendre-szimbólum és alaptulajdonságai, Euler-lemma. A kvadratikus reciprocitási tétel, Gauss-lemma (mindkettő bizonyítás nélkül), utóbbival (2/p).
  • Végtelen sok prím létezése, π(x) becslése.