Analízis5

Megjegyzések

• Az egyetemi órák
• Konzultáció
• Számonkérés

A tematikát kidolgozta:

• Simon Péter, Numerikus Analízis Tanszék, Informatikai Kar.

A tantárgy célkitűzése

Az integrálelmélet folytatása és valós függvénytani vonatkozásainak felépítése.

Irodalom

• H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Masstheorie. Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1974.
• P. R. Halmos: Mértékelmélet. Gondolat, Budapest, 1984.
• E. Hewit, K. Stromberg: Real and abstract analysis. Springer Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1969.
• Járai Antal: Mérték és integrál, felsőoktatási tankönyv. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002.
• Laczkovich Miklós: Valós függvénytan, egyetemi jegyzet. ELTE, Budapest, 1995.
• Simon Péter: Analízis V., egyetemi jegyzet. ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 1996.
• Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.
• A. C. Zaanen, Continuty: Integration and Fourier Theory. Verlag, Berlin-Heidelberg-New York-London-Paris-Tokio 1989.
• A. C. Zaanen: Integration. North Holland Publ. Co., Amsterdam 1967.

Tematika

• Szinguláris mértékek. A Lebesgue-féle felbontás. A gamma-függvény értelmezése, elemi tulajdonságai. Az Rⁿ-beli gömbök Lebesgue-mértéke. Vitali-lemma. Borel-mértékek, regularitás.
• Mértékek deriválása. Deriválás 0-mértékű halmazon. Szinguláris mérték deriválása. Súlyfüggvénnyel generált mérték deriválása. Abszolút folytonos mérték deriváltja. Előjeles Borel-mérték m.m. deriválható.
• Monoton függvény, ill. integrálfüggvény deriválása. A Lebesgue-pont fogalma, Lebesgue-tétel. Abszolút folytonosság. Korlátos változású függvények. Kapcsolat az abszolút folytonos mértékekkel. Jordan-tételek. Összefüggés az abszolút folytonos függvények és az integrálfüggvények között. Példa szigorúan monoton, folytonos függvényre, amelynek a deriváltja m.m. nulla.
• Monoton függvény felbontása abszolút folytonos, szinguláris és tiszta ugrófüggvény összegére. Fubini-tétele mértékekből, ill. függvényekből álló végtelen sorok deriválásáról. A Lebesgue-féle sűrűségi tétel.
• Integrálás helyettesítéssel. Parciális integrálás.
• A Hardy-Littlewood-féle maximálfüggvény: (L^p, L^p)-korlátosság, gyenge (1,1)-tulajdonság. Az operátorsorozatok maximáloperátorára vonatkozó gyenge (1,1)-becslés szerepe a konvergenciában. A Hardy-Littlewood-féle maximálfüggvény: (Llog⁺L, L¹)-becslés, (L¹, L^p)-korlátosság (0<p<1). Az Llog⁺L[a,b] függvényosztály. A Hardy-Littlewood-féle maximáloperátorral kapcsolatos Stein-tétel.
• Operátorok interpolációja, Marcinkiewicz-tételek. A Calderon-Zygmund-féle felbontás.
• Az L^p-terek duálisa.