Borromeo gyűrűk
BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2017.

Analízis4

  • Óraszám (ea+gy): 2 + 2
  • Specializáció: alk. mat.
  • Kredit (ea+gy): 3 + 2
  • Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
  • Tárgykód (ea, gy): analiz4a0_m17ex, analiz4a0_m17gx
  • Ajánlott félév: 4
  • Státusz: kötelező
Óraszám
ea(+k) + gy(+k)
Kredit
ea + gy
Számonkérés Specializáció Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 3 + 2 kollokvium +
gyak. jegy
alk. mat. analiz4a0_m17ex
analiz4a0_m17gx
4 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Analízis2E (analiz2x0_m17ea) vagy
Az analízis megalapozásaE (megala1x0_m17ea)
Előadás
Gyenge:
Analízis3E-a (analiz3a0_m17ea) vagy
Analízis3E-m (analiz3m0_m17ea)
Gyenge:
a gyakorlat

Megjegyzések

  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

A tantárgy célkitűzése

Az integrálelmélet modern felépítése. Itt hangzik el a felületi integrál és a Stokes-tételkör is.

Irodalom

  • H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Masstheorie. Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1974.
  • P. R. Halmos: Mértékelmélet. Gondolat, Budapest, 1984.
  • Járai Antal: Mérték és integrál. Felsőoktatási tankönyv, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002.
  • Laczkovich Miklós: Valós függvénytan, egyetemi jegyzet. ELTE, Budapest, 1995.
  • Pál Jenő, Schipp Ferenc, Simon Péter: Analízis II. Egyetemi jegyzet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1982.
  • Petruska György: Analízis II. Egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 1999.
  • Simon Péter: Analízis V. Egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 1996.
  • Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.
  • A. C. Zaanen: Integration. North Holland Publ. Co., Amsterdam 1967.

Tematika

  • Felületek megadása: szintfelület, Euler-Monge-, Gauss-féle megadás. A felületi görbe fogalma, kapcsolata az érintősíkkal. A felületi görbe ívhossza, Gauss-féle elsőrendű főmennyiségek. Felületi görbék görbülete, Gauss-féle másodrendű főmennyiségek. A felszín értelmezése. A felszín definíciója és kiszámítása paraméteres-, ill. Euler-Monge-megadás esetén.
  • A felületi integrál fogalma. Az integrál geometriai interpretációja, a fluxus kiszámítása. Poincare-Stokes-tétel és speciális esetei: Newton-Leibniz-, Green-, Stokes-, Gauss-Osztrogradszkij-tétel.
  • Félgyűrű, gyűrű, szigma-algebra. Előmérték, kvázimérték, mérték, előjeles mérték fogalma és alaptulajdonságai. Félig folytonosság. A Lebesgue-, ill. Stieltjes-féle kvázimérték. Gyűrűn értelmezett kvázimérték kiterjesztése mértékké. A külső mérték fogalma, Caratheodory-tétel. A szigma-véges mérték fogalma, a kiterjesztés egyértelműsége. Teljes mérték. A Borel-halmazok jellemzése (nyílt; zárt; kompakt halmazokkal való kapcsolat). A Lebesgue-, ill. Lebesgue-Stieltjes-mérték. Eltolás- és tükrözés-invariancia. Példa nem mérhető halmazra. A mérhető leképezés fogalma, tulajdonságok: alapműveletek, alsó-felső burkoló, lim sup, lim inf, limesz. Jegorov-tétel. Lépcsősfüggvények és integráljuk. A nem-negatív mérhető függvények és a lépcsősfüggvények kapcsolata, az integrál kiterjesztés. Beppo Levi-tétel, Fatou-lemma. Mérhető függvények integrálja, linearitás, monotonitás, a "majdnem mindenütt" terminológia. Az Lp-terek értelmezése, Hölder,-Jensen,-Cauchy-és Minkowski-egyenlőtlenség. Az Lp-terekre vonatkozó alapvető állítások (linearitás, tartalmazások, a normák limesze, a mérték végességének a szerepe). Lebesgue-tétel. Az Lp-terek teljessége. A Riemann-integrálhatóság és a Lebesgue-integrálhatóság kapcsolata.
  • A súlyfüggvénnyel generált mérték és integrál fogalma és alaptulajdonságai. Az abszolút folytonosság fogalma és jellemzése véges mérték esetén. Radon-Nikodym-tétel: egzisztencia, unicitás. A feltételes várható érték operátor.
  • A szorzatmérték fogalma, Fubini-tétel. Minkowski-egyenlőtlenség.
  • Előjeles mértékek. A Hahn-, ill. a Jordan-féle felbontás.