BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2017.
Tantárgyleírás
2017.
Analízis4
- Óraszám (ea+gy): 2 + 2
- Specializáció: alk. mat.
- Kredit (ea+gy): 3 + 2
- Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
- Tárgykód (ea, gy): analiz4a0_m17ex, analiz4a0_m17gx
- Ajánlott félév: 4
- Státusz: kötelező
Óraszám
ea(+k) + gy(+k) |
Kredit
ea + gy |
Számonkérés | Specializáció | Tárgykód
ea/gy |
Ajánlott
félév |
Státusz |
---|---|---|---|---|---|---|
2 + 2 | 3 + 2 | kollokvium + gyak. jegy |
alk. mat. | analiz4a0_m17ex analiz4a0_m17gx |
4 | kötelező |
Tantárgyfelelős
Erős | Gyenge | előfeltételek |
---|---|---|
Gyakorlat | ||
Erős:
| ||
Előadás | ||
Gyenge:
| ||
Gyenge:
a gyakorlat
|
Megjegyzések
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
A tantárgy célkitűzése
Az integrálelmélet modern felépítése. Itt hangzik el a felületi integrál és a Stokes-tételkör is.
Irodalom
- H. Bauer: Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Masstheorie. Walter de Gruyter, Berlin-New York, 1974.
- P. R. Halmos: Mértékelmélet. Gondolat, Budapest, 1984.
- Járai Antal: Mérték és integrál. Felsőoktatási tankönyv, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 2002.
- Laczkovich Miklós: Valós függvénytan, egyetemi jegyzet. ELTE, Budapest, 1995.
- Pál Jenő, Schipp Ferenc, Simon Péter: Analízis II. Egyetemi jegyzet, Tankönyvkiadó, Budapest, 1982.
- Petruska György: Analízis II. Egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 1999.
- Simon Péter: Analízis V. Egyetemi jegyzet, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 1996.
- Szőkefalvi-Nagy Béla: Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.
- A. C. Zaanen: Integration. North Holland Publ. Co., Amsterdam 1967.
Tematika
- Felületek megadása: szintfelület, Euler-Monge-, Gauss-féle megadás. A felületi görbe fogalma, kapcsolata az érintősíkkal. A felületi görbe ívhossza, Gauss-féle elsőrendű főmennyiségek. Felületi görbék görbülete, Gauss-féle másodrendű főmennyiségek. A felszín értelmezése. A felszín definíciója és kiszámítása paraméteres-, ill. Euler-Monge-megadás esetén.
- A felületi integrál fogalma. Az integrál geometriai interpretációja, a fluxus kiszámítása. Poincare-Stokes-tétel és speciális esetei: Newton-Leibniz-, Green-, Stokes-, Gauss-Osztrogradszkij-tétel.
- Félgyűrű, gyűrű, szigma-algebra. Előmérték, kvázimérték, mérték, előjeles mérték fogalma és alaptulajdonságai. Félig folytonosság. A Lebesgue-, ill. Stieltjes-féle kvázimérték. Gyűrűn értelmezett kvázimérték kiterjesztése mértékké. A külső mérték fogalma, Caratheodory-tétel. A szigma-véges mérték fogalma, a kiterjesztés egyértelműsége. Teljes mérték. A Borel-halmazok jellemzése (nyílt; zárt; kompakt halmazokkal való kapcsolat). A Lebesgue-, ill. Lebesgue-Stieltjes-mérték. Eltolás- és tükrözés-invariancia. Példa nem mérhető halmazra. A mérhető leképezés fogalma, tulajdonságok: alapműveletek, alsó-felső burkoló, lim sup, lim inf, limesz. Jegorov-tétel. Lépcsősfüggvények és integráljuk. A nem-negatív mérhető függvények és a lépcsősfüggvények kapcsolata, az integrál kiterjesztés. Beppo Levi-tétel, Fatou-lemma. Mérhető függvények integrálja, linearitás, monotonitás, a "majdnem mindenütt" terminológia. Az Lp-terek értelmezése, Hölder,-Jensen,-Cauchy-és Minkowski-egyenlőtlenség. Az Lp-terekre vonatkozó alapvető állítások (linearitás, tartalmazások, a normák limesze, a mérték végességének a szerepe). Lebesgue-tétel. Az Lp-terek teljessége. A Riemann-integrálhatóság és a Lebesgue-integrálhatóság kapcsolata.
- A súlyfüggvénnyel generált mérték és integrál fogalma és alaptulajdonságai. Az abszolút folytonosság fogalma és jellemzése véges mérték esetén. Radon-Nikodym-tétel: egzisztencia, unicitás. A feltételes várható érték operátor.
- A szorzatmérték fogalma, Fubini-tétel. Minkowski-egyenlőtlenség.
- Előjeles mértékek. A Hahn-, ill. a Jordan-féle felbontás.