Algebra3

Megjegyzések

• Az egyetemi órák
• Konzultáció
• Számonkérés

• Ennél a tárgynál a gyakorlaton is legalább 50%-ban az elméleti anyag elmélyítése történik.
• Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

• Frenkel Péter, Algebra és Számelmélet Tanszék, Matematikai Intézet.

Szükséges előismeretek

Klasszikus és lineáris algebra, elemi számelmélet.

A tantárgy célkitűzése

A tárgy célja az alkalmazásokhoz szükséges absztrakt algebrai alapfogalmak és szemléletmód bemutatása.

Irodalom

• Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. TypoTeX Kiadó, 2007. Információk, kiegészítések.

Tematika

• Csoportok. Szimmetriák és kompozícióik. Csoport fogalma. Neutrális elem és inverz egyértelmű. Kommutatív csoport fogalma. Additív és multiplikatív írásmód és terminológia. Példák: vektortér additív csoportja, gyűrűk additív és multiplikatív csoportja, általános lineáris csoport, a sík egybevágóságai. Csoportok megadása művelettáblával (Cayley-táblázat). Klein-csoport. Diédercsoport. Szimmetrikus csoport. Permutációk ciklusfölbontása.
• Részcsoport fogalma. Részcsoportok jellemzése műveletekre való zártsággal. Komplexusok, komplexusműveletek. Példák. Alternáló csoport, speciális lineáris csoport. Részcsoportok metszete részcsoport (uniójuk nem feltétlenül az). Generált részcsoport mint a legszűkebb, az adott halmazt tartalmazó részcsoport, vagyis az adott halmazt tartalmazó részcsoportok metszete. Generált részcsoport elemeinek fölírása általános és kommutatív esetben.
• Ciklikus csoportok, osztályozásuk. Csoportelem rendje; a rend a generált részcsoport elemszáma. Képlet hatvány rendjére. Ciklikus csoport részcsoportjai.
• Mellékosztályok. Partíciót alkotnak. A mellékosztályok jellemzései. A bal és a jobb oldali mellékosztályok száma ugyanaz. Részcsoport indexe. Lagrange-tétel: részcsoport, ill. elem rendje osztja a csoport rendjét (ha ez véges). Euler–Fermat-tétel. Prímrendű csoport ciklikus. Csoportnak pontosan akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű.
• Diédercsoportban a forgatások 2 indexű részcsoportot alkotnak; a másik mellékosztály elemei a tükrözések. Számolási szabályok.
• Csoporthomomorfizmusok. Példák, alaptulajdonságok. A konjugálás mint automorfizmus. Homomorfizmus magja és képe; a mag zárt a külső elemmel való konjugálásra. Normális részcsoport (normálosztó) mint konjugálásra zárt részcsoport.
• A normálosztók jellemzései: a jobb és a bal oldali mellékosztályok megegyeznek, a részcsoport konjugáltosztályok uniója. Kettő indexű részcsoport mindig normálosztó. Példák. Faktorcsoport. Homomorfizmustétel. Elem rendje a faktorcsoportban. Egyszerű csoportok. Klasszifikációs tétel és Feit–Thompson-tétel (bizonyítás nélkül).
• Kis elemszámú csoportok osztályozása, kvaterniócsoport. Módszerek csoportok izomorfiájának vizsgálatára; pl. az elemrendek összehasonlításával. Példa olyan nem izomorf 27 elemű csoportokra, amelyekben minden elem köbe 1.
• Direkt szorzat. Elemrend a direkt szorzatban; ciklikusok direkt szorzata mikor ciklikus. Alkalmazás: szükséges feltétel primitív gyök létezésére modulo m. A direkt szorzat belső jellemzése; példák. A véges Abel-csoportok alaptétele; adott elemszámúak osztályozása.
• Konjugálás szimmetrikus csoportban. Véges szimmetrikus csoport két elemmel generálható. Permutációcsoportok. Fixpont; stabilizátor, eszerinti mellékosztályok jellemzése. Pálya (orbit); ennek elemszáma a stabilizátor indexe. Csoporthatás; Burnside-lemma: csoporthatás orbitjainak száma egyenlő a csoportelemek fixpontszámának átlagával. Alkalmazás leszámlálási feladatra.
• Tranzitivitás, Cayley tétele.
• Egységelemes gyűrűk. Részgyűrű, generált részgyűrű. Nullosztómentes gyűrű. Ferdetest nullosztómentes. Véges nullosztómentes gyűrű ferdetest. Wedderburn tétele (minden véges ferdetest kommutatív, bizonyítás nélkül).
• Nullosztómentes gyűrűben a nem nulla elemek additív rendje vagy végtelen, vagy mindegyiké ugyanaz a prímszám. Karakterisztika, prímtest.
• Homomorfizmus, mag és kép. Ideál, bal- és jobbideál. Balideálmentes gyűrűk.
• Faktorgyűrű, természetes homomorfizmus. Homomorfizmustétel. A komplex számtest mint faktorgyűrű.
• Generált ideál elemeinek felírása kommutatív gyűrűben.
• Főideáltartomány. Z, K[x] az, de Z[x] nem. Kitüntetett közös osztó mint az elemek által generált ideál generátoreleme.
• K[x]/(f) pontosan akkor test, ha f irreducibilis. K[x]/(f)-ben f-nek van gyöke.
• Testbővítések. Testbővítés fogalma. Közbülső test, adott elemek generálta közbülső test. Nullkarakterisztikájú test véges bővítése egyszerű (bizonyítás nélkül). Egyszerű testbővítés elemeinek leírása. Algebrai és transzcendens elem.
• Minimálpolinom mint az adott algebrai elemen eltűnő polinomok ideáljának generátoreleme. A minimálpolinom irreducibilis; a minimálpolinom jellemzései. Algebrai elemmel való egyszerű bővítés elemeinek egyértelmű fölírása a generátorelem alacsonyfokú polinomjaként, műveletek az így felírt elemekkel, a bővítés mint faktorgyűrű. Algebrai elem foka, a testbővítés foka.
• Testbővítések fokának szorzástétele. Véges bővítés algebrai, elem foka osztja a bővítés fokát. Bővítés algebrai elemei közbülső testet alkotnak. Összeg és szorzat fokának becslése. Az algebrai számok teste algebrailag zárt.
• Minden testnek van algebrai lezártja (bizonyítás nélkül).
• Egyszerű algebrai testbővítés konstrukciója. Egyszerű algebrai bővítések izomorfak, ha azonos a generáló elemek minimálpolinomja. Felbontási test fogalma, létezése, egyértelműsége. Normális bővítés; példa bővítésre, amely nem normális. Véges bővítés pontosan akkor normális, ha egy polinom felbontási teste. Másodfokú bővítés normális.
• Véges test elemszáma prímhatvány; az additív és a multiplikatív csoport leírása. Minden prímhatványra egyértelműen létezik ilyen elemszámú test. x^q-x fölbontása. Véges test véges bővítése egyszerű és normális, a közbülső testek száma és foka.
• Véges test fölött létezik tetszőleges fokú irreducibilis polinom.
• Alkalmazások. Kódelmélet. Hibajelzés és javítás, Hamming-távolság. Perfekt kódok. Hamming-korlát, Singleton-korlát. Lineáris kódok, Hamming-kód és dekódolása, polinomkódok, elégséges feltétel a t-hibajavításra, Reed-Solomon-kód, BCH-kód.
• Kvaterniók. Konjugált, abszolút érték. A kvaterniók ferdetestet alkotnak. Kapcsolat a skaláris és vektoriális szorzással. Térbeli forgatások leírása kvaterniókonjugálással. Algebra fogalma. Frobenius tétele (bizonyítás nélkül); a feltételek egyike sem hagyható el.
• Unitér és ortogonális csoport, Galilei-téridő, Galilei-csoport, Minkowski-téridő, Poincaré- és Lorentz-csoport, kapcsolat a fizikával. Kártyakeverés, Zeeman-felhasadás (bizonyítás nélkül). Kristályok csoportjai.