Borromeo gyűrűk
BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2017.

Geometriai transzformációk és alkalmazásaik

  • Óraszám (ea+gy): 2 + 2
  • Specializáció: alk. mat.
  • Kredit (ea+gy): 3 + 3
  • Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
  • Tárgykód (ea, gy): geotra1a0_m17ea, geotra1a0_m17ga
  • Ajánlott félév: 4
  • Státusz: köt. vál.
Óraszám
ea(+k) + gy(+k)
Kredit
ea + gy
Számonkérés Specializáció Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 3 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
alk. mat. geotra1a0_m17ea
geotra1a0_m17ga
4 köt. vál.
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Geometria1E (geomet1*0_m17ea)
Erős:
Algebra2E (algebr2*0_m17ea)
Előadás
Gyenge:
Analízis2E (analiz2x0_m17ea) vagy
Az analízis megalapozásaE (megala1x0_m17ea)
Gyenge:
a gyakorlat

Megjegyzések

  • Alkalmazott matematikus specializáción kötelezően el kell végezni legalább egyet az alábbi két tárgy közül: Differenciálgeometria, Geometriai transzformációk és alkalmazásaik.
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

Szükséges előismeretek

Az euklideszi sík és tér elemi geometriája. Vektorok és vektorműveletek, koordináta-geometria. Komplex számok. Vektortér, lineáris altér, lineáris transzformációk. Lineáris transzformációk leírása mátrixokkal. Egyváltozós vektorértékű függvények deriválása.

A tantárgy célkitűzése

A projektív és affin transzformációcsoportok, illetve az euklideszi tér izometriacsoportjának geometriai és algebrai leírása. Különféle gyakorlati problémák megoldása a projektív, és egybevágósági transzformációk, illetve az infinitezimális izometriák alkalmazásával.

Irodalom

  • M. Berger: Geometry I. Universitext. Springer-Verlag, 1987.
  • M.W. Spong, S. Hutchinson, M. Vidyasagar: Robot Modeling and Control. John-Wiley & Sons, Inc., 2006.
  • D. Hilbert, S. Cohn-Vossen: Szemléletes geometria. Gondolat Könyvkiadó, 1982.

Tematika

  • A perspektív vetítés definíciója és alaptulajdonságai. Az ideális pontok bevezetésének motivációi. A projektív tér és a benne fekvő projektív egyenesek és a projektív síkok.
  • A kettősviszony definíciója. A kettősviszony változása a pontok permutálásakor. A kettősviszony kifejezése a pontok közti távolságokkal, illetve a ponthármasok osztóviszonyaival, ha a négy pontból legalább három közönséges. Papposz tétele a kettősviszonyról. Harmonikus négyesek. A teljes négyoldal tétele.
  • A projektív sík koordinátázása. A projektív sík pontjainak és egyeneseinek megadása reprezentáló vektorokkal. Projektív koordinátarendszerek. Pontok és egyenesek homogén koordinátái. Pont és egyenes illeszkedési feltétele a reprezentáló vektorokkal kifejezve. Két pontra illeszkedő egyenes és két egyenes metszéspontjának reprezentáló vektora. A dualitás elve a projektív síkon. Egy Descartes-féle koordinátarendszerhez illeszkedő projektív koordinátarendszer.
  • Projektív transzformációk. Síkok közötti projektív transzformációk definíciója. Egy lineáris leképezés által meghatározott projektív transzformáció. A projektív geometria alaptétele. A projektív általános lineáris csoport.
  • Az affin transzformációk definíciója. Egy affin transzformáció analitikus leírása egy Descartes-féle koordinátarendszerben és a hozzá illeszkedő projektív koordinátarendszerben. Affin transzformáció megadása egy háromszöggel és képével (síkban), illetve egy tetraéderrel és képével (térben).
  • Egybevágósági transzformációk Rn-ben. Definíció, példák: eltolások, tükrözések affin alterekre. Cartan tétele: minden egybevágósági transzformáció előáll legfeljebb (n+1) hipersíkra vonatkozó tükrözés kompozíciójaként. Az egybevágósági transzformációk analitikus megadása, ortogonális lineáris transzformációk. Az ortogonális transzformációk kanonikus alakja. Az analitikus leírás megváltozása a koordinátarendszer eltolásakor. Az izometriák kanonikus alakja. Az ortogonális és az egybevágósági transzformációk osztályozása n=1,2,3-ra. Irányítástartó és irányításváltó transzformációk.
  • SO(3) elemeinek leírása kvaterniókkal. Műveletek kvaterniókkal és tulajdonságaik, a tisztán képzetes kvaterniók terének invarianciája a konjugálásra nézve. Konjugálás a cos(α)+sin(α)a kvaternióval, ahol „a” tisztán képzetes egységkvaternió. Az SO(3)-beli elemek kvaternióreprezentációjának előnyei a számítógépes geometriában.
  • Infinitezimális izometriák (Killing-mezők). Merev test mozgásának analitikus leírása. A pillanatnyi sebességmező. A Killing-mezők megadhatósága X(p)=Mp+v alakban, ahol M egy ferdén szimmetrikus mátrix. Killing-mezők kanonikus alakra hozása a koordinátarendszer megváltoztatásával.
  • Killing-mezők osztályozása a síkban. Momentáncentrum. Az álló és a mozgó pólusgörbék. Tétel az álló és a mozgó pólusgörbék egymáson gördüléséről. Két mozgó sík egymásra vonatkozó pólusgörbéi. Fogaskerékfogazások. A fogaskerékfogazások alaptétele. Fogazáskonstrukciók epiciklois- és hipociklois-ívekkel, fogazás körevolvens-ívekkel.
  • Infinitezimális izometriák geometriai leírása a térben. Momentántengely. Két mozgó tér egymásra vonatkozó pólusfelületei. A momentántengely kiszámolása. Alkalmazás: hiperboloid-fogaskerekek két kitérő forgástengely között.
  • Robotgeometria. Alapfogalmak: alap, manipulátor (kéz), tagok, csuklók, elemi csuklótípusok, elemi csukló tengelye, munkatér. Nyílt láncú robotkarok osztályozása az egymást követő csuklótípusok alapján. Példa RRR, RPP, PPP típusú robotkarra. Koordinátarendszer hozzárendelése a tagokhoz a Denavit-Hartenberg-konvenció szerint. A Denavit-Hartenberg-féle paraméterek. A D-H-konvenció előnye.
  • A direkt és inverz kinematikai és sebességkinematikai feladat. A direkt kinematikai feladatok megoldása a Denavit-Hartenberg-féle paraméterek segítségével. Szinguláris konfigurációk.