BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.
Tantárgyleírás
2013.
Komplex függvénytan
| Óraszám ea/gy |
Kredit ea/gy |
Számonkérés | Szakirány | Tárgykód ea/gy |
Ajánlott félév |
Státusz |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 2 + 2 | 2 + 3 | kollokvium + gyak. jegy |
matematikus | mm1c1kf5m mm1c2kf5m |
5 | kötelező |
Tantárgyfelelős
| Erős | Gyenge | előfeltételek | |
|---|---|---|---|
| Gyakorlat | |||
|
Erős:
Analízis3E-m
(mm1c1an3m)
| |||
| Előadás | |||
|
Gyenge:
a gyakorlat
| |||
Megjegyzések
- A tantárgy oktatásának módja: Az előadáshoz kiegészítő kurzus tartozik, amellyel közösen kerül megtartásra heti 3 órában, de az alaptárgy körülbelül a félév 2/3-áig befejeződik.
- Követelmény: A komplex függvénytani szemlélet elsajátítása, a tételek és fogalmak jobb megértése érdekében a kiegészítő kurzus óráinak a meghallgatása is ajánlott, azoknak is, akik csak az alaptárgyat akarják elvégezni.
- Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Komplex számok (műveletek, geometriai ábrázolás), euklideszi terek elemi topológiája (nyílt, zárt, összefüggő halmazok), sorozatok, sorok, hatványsorok, egy- és többváltozós függvények (határérték, limesz szuperior és inferior, folytonosság), többváltozós függvények differenciálása, egyváltozós Riemann-integrál, vonalintegrál euklideszi terekben.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy bevezetés a komplex függvénytanba, és mint ilyen, elsősorban a komplex értékű, komplex változós függvények differenciál- és integrálszámítása. Megmutatjuk, hogy a differenciálhatóság – a valós értelemben vetthez képest – milyen szigorú szerkezetet biztosít a függvény számára, összekapcsolva a legkülönbözőbb tulajdonságait. Ez új szemléletet igényel, másrészt pedig ennek köszönhető a komplex függvények széleskörű alkalmazhatósága. Felvillantunk ilyen alkalmazási lehetőséget is, és (különösen a tárgyhoz kapcsolódó kiegészítő kurzusban) az elmélet modern, az MSc-ben közelebbről bemutatandó ágaira is utalunk.
Irodalom
- Halász Gábor: Bevezető komplex függvénytan. Komplex függvénytani füzetek III. (2002), 2. javított kiadás. (Az előadást pontosan követi.)
- Petruska György: Komplex függvénytan. Nemzeti Tankönyvkiadó (1998), 6. kiadás. (Más felépítésben, de bővebb anyagot ölel fel.)
- L.V. Ahlfors: Complex Analysis. McGraw–Hill Book Company (1979). (Kitűnő bevezetés a modern komplex függvénytan egyik legnagyobb alakjától.)
Tematika
- Ismétlés. Komplex számok. Komplex sík.
- Reguláris függvény. Komplex értelemben vett differenciálhatóság, jellemzése a Cauchy–Riemann-egyenletekkel, geometriai leírása. Reguláris függvények konstruálása hatványsorral. Az exponenciális függvény tulajdonságai, a logaritmus és a hatványfüggvény értelmezésének problémái, többértékű függvény reguláris ága.
- Integráltételek. Komplex vonalintegrál, Newton–Leibniz-szabály. Az integrál függet-lensége az úttól, kapcsolat a primitív függvénnyel. Goursat-lemma és általánosítása, Cauchy integráltétele és integrálformulája konvex tartományon. Görbe indexe. Reguláris függvények sorozatai. A logaritmus reguláris ága.
- Hatványsorba fejtés. Reguláris függvény hatványsorba fejtése. Unicitástétel. Taylor-sor, a logaritmus és a hatványfüggvény Taylor-sora. Lokális aszimptotikus viselkedés általános regularitási pontban. Maximumelv, Schwarz-lemma. Hatványsor együtthatóinak becslése, Liouville tétele korlátos egészfüggvényekről, polinomok jellemzése nagyságrenddel, bizonyítás az algebra alaptételére.
- Izolált szingularitások. Laurent-sor konvergenciája, gyűrűben reguláris függvény Laurent-sorba fejtése. Izolált szingularitások osztályozása, kvantitatív és kvalitatív jellemzésük, a Casorati–Weierstrass-tétel. Reziduumtétel és alkalmazásai improprius integrálok kiszámítására, végtelen sorok összegzésére. Argumentumelv, Rouché tétele, reguláris függvény lokális értékeloszlása.
- Konform leképezések. Lineáris törtfüggvények mint a zárt sík önmagára való konform leképezései. Körlapnak, illetve félsíknak körlapra, illetve félsíkra való leképezése. A konform leképezések Riemann-féle alaptétele egyszeresen összefüggő tartományok leképezéséről. Tükrözési elv. Speciális tartományok leképezése.
- Harmonikus függvények. Definíció mint reguláris függvények valós része. Jellemzés a Laplace-egyenlettel. Körlapon való előállítás a kerületi függvény Poisson-integráljaként. Körvonalon adott függvény harmonikus beterjesztése (Dirichlet-feladat).