BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.
Borromeo gyűrűk
Differenciálegyenletek
Óraszám
ea/gy		 Kredit
ea/gy		 Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy		 Ajánlott
félév		 Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy		 matematikus mm1c1de5m
mm1c2de5m		 5 kötelező
alk. mat. mm1c1de5a
mm1c2de5a		 5 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Analízis2E (mm1c1an2) vagy
Az analízis megalapozásaE (mm1c1ap2)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Gyenge:
Analízis3E-a (mm1c1an3a) vagy
Analízis3E-m (mm1c1an3m)
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Analízis 3. félév, lineáris algebra.
A tantárgy célkitűzése
A közönséges differenciálegyenletek alapismereteinek lerakása, azon fogalmak és összefüggések ismertetése, melyek a továbbiakban lehetőséget adnak a szakirodalom követésére, illetve új fogalomalkotásra, modellezésre. Ezenkívül a természettudományokban használt alapvető differenciálegyenletekkel leírt modellek ismertetése.
Irodalom
  • Tóth János, Simon Péter: Differenciálegyenletek; Bevezetés az elméletbe és az alkalmazásokba. Typotex, 2005.
  • V.I. Arnold: Közönséges differenciálegyenletek. Műszaki Könyvkiadó, 1987.
Tematika
  • Elsőrendű közönséges differenciálegyenlet-rendszer fogalma, megoldásának egyértelműsége, Gronwall lemma. A lokális és globális megoldás létezése.
  • Lineáris differenciálegyenlet-rendszer: a megoldás létezése és egyértelműsége; a homogén és inhomogén egyenlet megoldásának előállítása az alaprendszer segítségével; az állandók variálásának módszere. Állandó együtthatós lineáris differenciálegyenlet-rendszer: eA létezése és tulajdonságai; a megoldás előállítása eAt segítségével; eAt kiszámítása Jordan normálformával, ill. Hermite-féle interpolációs polinomokkal. Magasabb rendű lineáris differenciálegyenletek.
  • Autonóm differenciálegyenletek: csoport tulajdonság; dinamikai rendszer fogalma. Stabilitási fogalmak; lineáris differenciálegyenlet-rendszer stabilitás vizsgálata: stabil, instabil, centrális altér, a stabilitás meghatározása a sajátértékek segítségével, Routh-Hurwitz kritérium; egyensúlyi pont stabilitás vizsgálata linearizálással. Stabilitás vizsgálat Ljapunov módszerével: Ljapunov stabilitási és instabilitási tétele.
  • Aszimptotikus viselkedés:az ω-határhalmaz fogalma és tulajdonságai. Az ω-határhalmazok típusai egy és két dimenzióban: a Poincaré-Bendixson tétel.
  • Periodikus megoldás stabilitás vizsgálata: orbitális stabilitás, Poincaré leképezés létezése, egyértelműsége. Leképezés fixpontjának stabilitása. A Poincaré leképezés fixpontjának stabilitása és a periodikus pálya orbitális stabilitása közötti kapcsolat, az Andronov-Vitt tétel.
  • Dinamikai rendszerek topologikus osztályozása: ekvivalencia fogalmak, kiegyenesítési tétel, lineáris rendszerek topologikus osztályozása.
  • Másodrendű lineáris differenciálegyenletre vonatkozó peremértékproblémák.
↻