BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Algebra3
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy
alk. mat. mm1c1al3a
mm1c2al3a
3 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Algebra2E (mm1c1al2)
Erős:
Számelmélet1E (mm1c1se1)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Klasszikus és lineáris algebra, elemi számelmélet.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja az alkalmazásokhoz szükséges absztrakt algebrai alapfogalmak és szemléletmód bemutatása.
Irodalom
  • Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006.
  • Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. TypoTeX Kiadó, 2007. Információk, kiegészítések.
Tematika
  • Csoportok. Gyűrű additív és multiplikatív csoportja, az általános lineáris csoport. A szimmetrikus és az alternáló csoport, ciklusfelbontás. A Klein-csoport, a diédercsoport és a kvaterniócsoport.
  • Részcsoport, jellemzése zártsággal és komplexusszorzással. Lagrange tétele, mellékosztály, index, a baloldali és a jobboldali mellékosztályok száma megegyezik. Egy elemmel generált részcsoport, ciklikus csoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat-tétel. Egy csoportnak akkor és csak akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű. Prímrendű csoport ciklikus. Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus. A ciklikus csoportok részcsoportjainak leírása. Generált részcsoport az általános, illetve a kommutatív esetben. Minden véges szimmetrikus csoport két elemmel generálható.
  • Permutációcsoport, fok, pálya, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A kocka szimmetriáinak a száma. Cayley tétele.
  • Izomorfizmus, módszerek az izomorfia eldöntésére. A ciklikus csoportok izomorfia-típusai. A kis elemszámú csoportok leírása. Homomorfizmus képe és magja, normálosztó. Faktorcsoport, természetes homomorfizmus, homomorfizmus-tétel. Elem rendje a faktorcsoportban. Kettő indexű részcsoport normálosztó. A konjugálás, mint automorfizmus. Egy részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha konjugáltosztályok egyesítése. Egyszerű csoportok, példák, a Feit-Thompson-tétel és a klasszifikáció.
  • A direkt szorzat fogalma és belső jellemzése két tényező esetén. Elem rendje a direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (bizonyítás nélkül).
  • Gyűrűk. Részgyűrű, homomorfizmus, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel. A komplex számok mint faktorgyűrű. Bal- és jobbideál, a generált ideál képlete kommutatív, egységelemes gyűrűben. Véges nullosztómentes gyűrű test. Egyszerű gyűrűk, minden ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű. Jobb és baloldali annullátor. A balideálmentes gyűrűk szerkezete. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test.
  • Nullosztómentes gyűrű elemeinek additív rendje, karakterisztika. Prímtest, szerkezete. A kvaterniótest. Frobenius tétele a valós feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrákról (bizonyítás nélkül). A Wedderburn-Artin tétel (bizonyítás nélkül).
  • Galois-elmélet. A testbővítés fogalma, foka, adott elemekkel generált bővítés. Elem minimálpolinomja, algebrai és transzcendens elemek. A minimálpolinom jellemzése az irreducibilitás segítségével. Egyszerű testbővítés, ennek szerkezete a transzcendens és az algebrai esetben. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Az egyszerű testbővítés, mint faktorgyűrű. Egyszerű testbővítés konstrukciója. Egymás utáni bővítések fokainak szorzástétele. Következmények: elem foka osztója a bővítés fokának, minden véges bővítés algebrai. Összeg és szorzat fokának becslése. Az algebrai elemek résztestet alkotnak, az algebrai számok teste, ez algebrailag zárt. Algebrailag zárt bővítés létezése általános test esetén (bizonyítás nélkül).
  • A felbontási test fogalma. Normális bővítés, polinom felbontási teste normális. A felbontási test egyértelmű. A tökéletes test fogalma, minden nulla karakterisztikájú test tökéletes. Tökéletes test véges bővítése egyszerű. Relatív automorfizmus, a Galois-csoport fogalma. A Galois-elmélet főtétele (bizonyítás nélkül). Konjugáltság, a konjugáltak a minimálpolinom gyökei.
  • A véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Minden véges test tökéletes. Véges test multiplikatív csoportja ciklikus. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka. Wedderburn tétele (minden véges ferdetest kommutatív).
  • A kódelmélet alapjai. Hibajelzés és javítás, Hamming-távolság, perfekt kódok, lineáris kódok, polinomkódok, elégséges feltétel a t-hibajavításra. Hamming-kód, BCH-kódok és dekódolásuk. Néhány egyéb kódtípus.