BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.
Borromeo gyűrűk
Fourier-integrál
Óraszám
ea/gy		 Kredit
ea/gy		 Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy		 Ajánlott
félév		 Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy		 matematikus mm1c1fi6m
mm1c2fi6m		 6 ajánlott
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Analízis4E-m (mm1c1an4m)
Erős:
Komplex függvénytanG-m (mm1c2kf5m)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • Követelmény: A gyakorlat a feladatmegoldó készségük mellett a résztvevők előadókészségét is hivatott fejleszteni: helyenként nehéz tételek bizonyításának kidolgozását és előadását kapják feladatul. A gyakorlati jegy megszerzéséhez meg kell oldani – ehhez a gyakorlatvezető megadja a kellő segítséget – és előadni a házi feladatokat.
  • Pótlási lehetőség: A tárgy az MSc-ben is meg van hirdetve, mind a gyakorlatot, mind a kollokviumot ott is lehet pótolni.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
Mérték- és integrálelmélet alapjai (Lebesgue- és Lebesgue–Stieltjes-mérték és -integrál, integrál differenciálása, Lebesgue majoráns kritériuma, Fubini-tétel, Lp terek), komplex függvénytan alapjai (Cauchy integráltételei és integrálformulái, reziduumtétel, maximumelv).
A tantárgy célkitűzése
Megismertet a Fourier-integrál különböző terekben való definícióival és alapvető tulajdonságaival. Összhangban a fogalom széleskörű alkalmazásaival, ezt többnyire konkrét, önmagában is érdekes alkalmazásokon keresztül teszi (az analízisben, számelméletben, valószínűségszámításban, statisztikában). Eközben tipikus, a Fourier-sorok elméletében, absztrakt harmonikus analízisben, stb. is hasznos technikákat mutat be.
Irodalom
  • Halász Gábor: Fourier-integrál. Komplex függvénytani füzetek I. (2005), 3. javított kiadás. (Az előadást pontosan követi bő feladatsorral, az egyes fejezetekhez további irodalommal)
Tematika
  • L1 elmélet. L1-beli függvények Fourier-integrálja és annak elemi tulajdonságai. Konvolúció Fourier-integrálja. Inverziós képlet.
  • Wiener approximációs tétele. Wiener approximációs tétele adott függvény konvolúciói halmazának a lezárásáról. Alkalmazás Wiener általános Tauber-típusú tételére.
  • Komplex mérték Fourier-integrálja. Korlátos változású mérték Fourier-integrálja és annak elemi tulajdonságai. Inverziós képlet. Wiener Parseval-típusú formulája, folytonos mérték jellemzése. Példa szinguláris mérték Fourier-integráljára.
  • L2 elmélet. Fourier-transzformáció L2-ben. Parseval-formula. A Fourier-transzformáció mint unitér operátor.
  • Sűrűségfüggvény becslése. Konvolúció Lp terekben. Derivált Fourier-transzformáltja. Alkalmazás nemparaméteres sűsűrégfüggvénybecslésre a matematikai statisztikában.
  • Lp elmélet. Young–Hausdorff-egyenlőtlenség, Banach-terek Riesz–Thorin-, illetve Marczinkiewicz-féle interpolációja, a maximumelv Phragmén–Lindelöf-típusú általánosítása. Lp-beli függvények Fourier-integrálja.
  • Egyenletes eloszlás. Fourier-technikák, Fejér mag, alkalmazás egyenletes eloszlású sorozatok diszkrepanciájának Erdőstől és Turántól származó felső becslésére. Fourier-integrál magasabb dimenzióban, alkalmazás síkbeli ponteloszlás diszkrepanciájának Beck-féle alsó becslésére.
  • Selberg-szita. Poisson összegzési formulája. Komplex függvénytani extremális feladat. Alkalmazás számelméleti szitabecslésre.
  • Komplex elmélet. A pozitív tengelyen értelmezett függvény Fourier-integrálja, kiterjesztése félsíkra. Kompakt tartójú függvény Fourier-integrálja, jellemzés egészfüggvényként a Paley–Wiener-tétellel. Alkalmazás a Selberg-szita extremális problémájára.
↻