BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.
Borromeo gyűrűk
Valószínűségszámítás2
Óraszám
ea/gy		 Kredit
ea/gy		 Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy		 Ajánlott
félév		 Státusz
2 + 2 2 + 3 kollokvium +
gyak. jegy		 alk. mat. mm1c1vs5a
mm1c2vs5a		 5 alt. vál.
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Valószínűségszámítás1E-m (mm1c1vs3m) vagy
Valószínűségszámítás1E-a (mm1c1vs3a)
Erős:
Analízis4E-m (mm1c1an4m) vagy
Analízis4E-a (mm1c1an4a)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Megjegyzések
  • A matematikus és alkalmazott matematikus hallgatók választhatnak, hogy ezt a tárgyat, vagy az mm1c1vs5m és mm1c2vs5m kódú, 3+2 óraszámú tárgyat hallgatják.
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
  • Bevezető valószínűségszámítás fogalmai. Speciális halmazrendszerek és halmazfüggvények (algebra, szigmaalgebra, mérték). A Lebesgue mérték. Caratheodory-féle kiterjesztési tétel. A Borel-halmazok jellemzése. A mérhető leképezés fogalma, alaptulajdonságok. Lépcsősfüggvények, integrál. Mérhető függvények integrálja. Az integrál jellemzése és alaptulajdonságai. A Lebesgue-Stieltjes-integrál. A Beppo-Levi tétel, Fatou-lemma, egyéb konvergenciatételek. Az Lp terek értelmezése, Hölder-, Jensen-, Cauchy és Minkowski-egyenlőtlenség. Az Lp–terekre vonatkozó alapvető állítások. A Riemann-integrálhatóság és Lebesgue-integrálhatóság kapcsolata. A szorzatmérték fogalma, Fubini-tétel. Abszolút folytonosság. A Radon-Nikodym-tétel. Előjeles mértékek.
  • Topológikus terek, nyílt, zárt halmazok. Metrikus terek.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja az axiomatikus valószínűségszámítás elemeinek, és ezek egyes alkalmazásainak bemutatása.
Irodalom
  • Rényi Alfréd: Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1968.
  • Bognár Jánosné, Mogyoródi József, Prékopa András, Rényi Alfréd, Szász Domokos: Valószínűségszámítás, feladatgyűjtemény. Typotex. 2002.
  • Mogyoródi József, Somogyi Árpád: Valószínűségszámítás. Egyetemi jegyzet, 1989.
  • Móri Tamás: Diszkrét paraméterű martingálok. Egyetemi jegyzet, ELTE, 1999.
Tematika
  • A valószínűségszámítás Kolmogorov-féle axiómarendszere. Valószínűségi változók eloszlása, eloszlásfüggvénye, sűrűségfüggvénye. A sűrűségfüggvény transzformációja diffeomorfizmus esetén.
  • Események, eseményrendszerek, valószínűségi változók függetlensége.
  • Valószínűségi változók konvergenciájának alaptípusai. Sztochasztikus, 1 valószínűségű, Lp-beli konvergencia. Kapcsolat az egyes konvergenciafajták között. Egyenletes integrálhatóság.
  • Valószínűségeloszlások gyenge konvergenciája. Feszesség, relatív kompaktság. Prohorov tétele.
  • Karakterisztikus függvény. Inverziós formula. Folytonossági tétel. Konvergencia Poisson eloszláshoz.
  • Centrális határeloszlástétel bizonyítása karakterisztikus függvények segítségével. Berry-Esséen-tétel.
  • A feltételes várható érték általános fogalma. Alaptulajdonságok. Kiszámítása. Feltételes sűrűségfüggvény. A feltételes eloszlás reguláris változata.
  • Martingálok, megállási idők, maximál-egyenlőtlenségek. Martingál-konvergencia-tétel.
  • Doob- és Crickeberg-felbontás.
  • Lévy tétele. Kolmogorov-féle erős törvény.
  • Független tagú végtelen sorok konvergenciája. Kolmogorov-féle három sor tétel.
  • Poisson folyamat, elágazó folyamatok.
↻