BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2013.

Geometria3
Óraszám
ea/gy
Kredit
ea/gy
Számonkérés Szakirány Tárgykód
ea/gy
Ajánlott
félév
Státusz
2 + 2 2 + 2 kollokvium +
gyak. jegy
tanári mm1c1ge4t
mm1c2ge4t
4 kötelező
Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Geometria2E-t (mm1c1ge3t)
Gyenge:
Algebra2G (mm1c2al2)
Előadás
Gyenge:
a gyakorlat
Gyenge:
Algebra2E (mm1c1al2)
Megjegyzések
  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben, a gyakorlatvezető döntése alapján egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.
A tematikát kidolgozta:
Szükséges előismeretek
A tárgy tananyagának elsajátításához szükség van az euklideszi geometria, továbbá a lineáris algebra alapvető fogalmainak és tételeinek az ismeretére.
A tantárgy célkitűzése
A tárgy célja az euklideszi sík másodrendű görbéivel kapcsolatos ismeretek elsajátítása, továbbá a hallgatók megismertetése a transzformációk analitikus geometriájával, és a projektív geometria elemeivel. Hangsúlyt helyezünk az iskolai matematikaanyaggal való kapcsolat bemutatására.
Irodalom
  • Hajós György: Bevezetés a geometriába. Nemzeti tankönyvkiadó, 1960-1999.
  • Horvay Katalin – Reiman István: Projektív geometria. Tankönyvkiadó, 1991.
  • Reiman István: A geometria és határterületei. Gondolat, 1986.
Tematika
    Kúpszeletek
  • Az egyes kúpszeletfajták definíciója. Kúpszeletek származtatása vezéralakzatok segítségével. Forgáskúpok és síkmetszeteik, Dandelin-gömbök. Az érintő definíciója, egyértelmű létezése és szögfelező-tulajdonsága. A fókusz érintőkre vonatkozó tükörképeinek mértani helye. A hiperbola aszimptotái.
  • Kúpszeletek kanonikus egyenletei. Másodrendű görbék az euklideszi síkon. A síkbeli főtengely-transzformáció. A másodrendű görbék osztályozási tétele.
  • A síkbeli transzformációk analitikus leírása
  • A sík affinitásainak koordinátás leírása. Az ortogonális mátrixok szerepe az egybevágósági, illetve hasonlósági transzformációk esetében. Kúpszeletek képe affin transzfomációnál.
  • A projektív geometria elemei
  • Ideális térelemek, a kibővített egyenes, sík és tér. Illeszkedési tulajdonságok.
  • A projektív sík sugárnyalábmodellje. Pontok és egyenesek meghatározó vektorai, homogén koordináták. A síkbeli dualitás elve. Illeszkedési tételek: Desargues tétele, Papposz tétele.
  • Kettősviszony: kollineáris pontnégyes és sugárnégyes kettősviszonya. Papposz tétele a kettősviszonyról. Harmonikus pont- és sugárnégyes. A harmonikus elválasztás. A teljes négyoldal tétele.
  • Egyenesek közti kettősviszonytartó transzformációk. Ekvivalens definíciók, megadás három ponttal és képeikkel. Perspektív leképezések jellemzése. Steiner-tengely. Egy egyenes önmagába menő kettősviszonytartó leképezéseinek csoportja. Osztályozás a fixpontok száma szerint. Involúció megadása két pontpárral. A Steiner-féle fixpontszerkesztés.
  • Kollineációk a projektív síkon, megadásuk négy általános helyzetű ponttal és képeikkel. A kollineációk leírása homogén koordinátákkal. Affin transzformációk, illetve centrális vetítések mint speciális kollineációk
  • Kúpszeletek a projektív síkon, kvadratikus alakok. Az euklideszi sík másodrendű görbéjének projektív lezárása. Köri kettősviszony és kúpszeleti kettősviszony. Pascal tétele. Kúpszeletre vonatkozó konjugáltság és polaritás. A dualitás elvének kiterjesztése kúpszeletek pontjairól és érintőiről szóló tételekre. Brianchon tétele.