Általános tudnivalók

Vizsgatematika

1. vizsgakérdések válaszokkal
2. vizsgakérdések válaszokkal

Január 12 (péntek), Bolyai-terem (Déli épület, 0-821)

3. vizsgakérdések válaszokkal
4. vizsgakérdések válaszokkal

Január 26 (péntek), Bolyai-terem (Déli épület, 0-821)

5. vizsgakérdések válaszokkal
6. vizsgakérdések válaszokkal

Február 2 (péntek), Bolyai-terem (Déli épület, 0-821)

Az előadások tartalma

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. Az összeadás a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. Komplex számok hatványozása. A háromszög-egyenlőtlenség. Két pont távolsága. Az eltolás és a forgatva nyújtás kifejezése komplex számok segítségével, geometriai alkalmazások.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

3-4. előadás: szeptember 19. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma. Ha a hossz nem 1, vagy a szög nem a 360 fok racionális többszöröse, akkor minden hatvány különböző, különben a szám egységgyök, rendje véges, és a hatványok periódikusan ismétlődnek.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A jó kitevő fogalma. A rend a legkisebb pozitív egész, amelyre a számot emelve 1-et kapunk. Két hatvány akkor és csak akkor egyenlő, ha a kitevők különbsége a rend többszöröse. Képlet a hatvány rendjére, a rend leolvasása a trigonometrikus alakból. A primitív n-edik egységgyök fogalma, számuk at az Euler-függvény adja meg. Egy szám akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványai épp az összes n-edik egységgyökök. A binomiális tétel.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

5-6. előadás: szeptember 26. A komplex együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség. Csak a nem nulla konstans polinomoknak van reciproka. A szumma és produktum jelölés.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Behelyettesítés polinomba, a polinomfüggvény fogalma. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél. A nullosztómentesség miatt a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka, a polinomok azonossági tétele. Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak. A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. Az xⁿ-1 polinom gyöktényezős alakja. A k-szoros gyök fogalma. Az algebra alaptételének következménye: a polinom foka a gyökök multiplicitásainak összege. A racionális gyökök meghatározása: a racionális gyökteszt.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

7-8. előadás: október 3. Lagrange-interpoláció. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések. A többhatározatlanú polinom fogalma. Homogén polinomok.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A tagok lexikografikus rendezése. Főtagok szorzata a szorzat főtagja. Következmény: nullosztómentesség. Többhatározatlanú polinom foka, a szorzatpolinom foka. A szimmetrikus polinomok alaptétele (az egyértelműség csak említve), a bizonyítás eljárást is ad. A hatványösszegekre vonatkozó Newton-Girard formulák (NB).

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

9-10. előadás: október 10. Maradékos osztás polinomok között: létezés és egyértelműség. Az eljárás során csak a négy alapműveletet kell alkalmazni, és csak az osztó főegyütthatójával kell osztani. Oszthatóság C, R, Q, Z fölött. Ha f és g egész együtthatós polinomok, akkor f|g ugyanazt jelenti Q és C fölött, de Z fölött nem. Egységek. A kitüntetett közös osztó definíciója és meghatározása euklideszi algoritmussal. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása, a körosztási polinom egész együtthatós. A Cardano-képlet és diszkussziója: hogyan kapjuk meg a három gyököt? Valós együttható esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között, casus irreducibilis. A negyedfokú egyenlet megoldási módszere (NB). A legalább ötödfokú egyenletre nincs gyökképlet.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

11-12. előadás: október 17. Az irreducibilis polinom fogalma C, R, Q fölött. A számelmélet alaptétele. Az alaptétel érvényes, ha elvégezhető a maradékos osztás (tehát például C, R, Q fölött), a bizonyítás ugyanaz, mint az egész számok között. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Valós fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. A Schönemann-Eisenstein kritérium (NB). Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik. A körosztási polinom irreducibilis (NB). Az egész együtthatós polinomok számelmélete (csak vázlatosan). Primitív polinom, a Z[x] irreducibiliseinek leírása (NB). Az alaptétel érvényes (NB).

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A kétváltozós művelet általános fogalma. Asszociativitás, kommutativitás, nullelem, egységelem, ellentett, inverz. Asszociatív művelet esetén a szorzat nem függ a zárójelezéstől (NB). Kommutatív művelet esetén a szorzat nem függ a sorrendtől (NB). Egy műveletnek csak egy nulleleme lehet. Az inverz egyértelmű. Gyűrű, test, nullosztómentesség, példák. Elemi számolási szabályok (NB). Minden test nullosztómentes. Nullosztómentes gyűrűben érvényes az egyszerűsítési szabály. A Z_n gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Első évfolyamzárthelyi az 1-10. előadások anyagából: október 24.

13-14. előadás: november 7. Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A sík vektorai: összeadás és skalárral szorzás. Tⁿ mint a T test fölötti n magas oszlopvektorok "tere", összeadás, T-beli skalárral szorzás. Oszlopvektorok lineáris függetlensége, összefüggősége, ennek eldöntése lineáris egyenletrendszer megoldásával. Vektorrendszer rangja. A mátrix fogalma, sorrang és oszloprang, ezek egyenlősége. A rang kiszámítása Gauss-elimináció segítségével.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

15-16. előadás: november 14. Geometriai transzformációk mint lineáris leképezések a síkon. Egy vektor képének kiszámítása, ha a két egységvektor képét ismerjük. A leképezés mátrixa, mátrix és oszlopvektor szorzata. Két leképezés kompozíciójának mátrixa, a mátrix-szorzás definíciója. Következmény: a (kétszer kettes valós) mátrixok szorzása asszociatív. A sík lineáris transzformációinak összege, skalárszorosa és ezek mátrixa.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Általános mátrixok közötti műveletek: összeadás, szorzás, skalárral szorzás, műveleti tulajdonságok (egyelőre bizonyítás nélkül). A négyzetes mátrixok egységelemes gyűrűt alkotnak. Szorzat rangja. Az inverz mátrix definíciója, és kiszámítása Gauss-eliminációval (NB). A transzponált mátrix.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

17-18. előadás: november 21. A determináns alaptulajdonságai (minden oszlopban lineáris, és ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla). Következmény: egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik; a determináns oszlopcserénél előjelet vált. A transzponált mátrix determinánsa (bizonyítás később). Következmény: az oszlopokra feltett tulajdonságok a sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel (NB). A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. A determinánsok szorzástétele (NB). A determináns eltűnésének jellemzése. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. A Cramer-szabály. Vandermonde-determináns (bizonyítás gyakorlaton).

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

19-20. előadás: november 28. Permutáció, transzpozíció, minden permutáció transzpozíciók szorzata. Inverziók, permutáció előjele. Az előjelek szorzástétele (NB). Inverz és transzpozíció előjele. A páros permutációk száma. A determináns definíciója.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A determináns alaptulajdonságainak bizonyítása: linearitás, felső háromszögmátrix, két oszlop egyenlősége, transzponált.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

21-22. előadás: december 5. Egységelemes, kommutatív gyűrű fölötti polinomgyűrű, fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A polinomgyűrű egységei. A gyöktényező kiemelhető, de a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezőket egyszerre általában csak nullosztómentes gyűrű fölött lehet kiemelni. Következmény: nullosztómentes gyűrű fölött érvényes, hogy nem lehet a fokszámnál több gyök. Végtelen, nullosztómentes gyűrű fölött igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű fölött nem.

Hatványozás, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Ha minden elem p-szerese nulla egy kommutatív gyűrűben (p prím), akkor itt tagonként lehet p-edik hatványra emelni. Következmény: a kis Fermat-tétel.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A számelmélet alapjai általános gyűrűben: oszthatóság, egység, irreducibilis és prím elem, kitüntetett közös osztó, alaptételes gyűrű. Nullosztómentes gyűrű fölött lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, aminek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség. Test fölötti polinomgyűrű alaptételes. A legnagyobb közös osztó nem függ attól, hogy mi fölött vizsgáljuk. A legnagyobb közös osztó leolvasása a kanonikus alakból. Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad-, és magasabb fokú polinomok esetén.

A többhatározatlanú polinomok rekurzív definíciója. A szimmetrikus polinomok alaptétele érvényben marad nullosztómentes gyűrű fölött, az egyértelműség pontos megfogalmazása. Alaptételes gyűrű fölötti polinomgyűrű is az (NB). Következmény: Z[x₁,...,x_n] és T[x₁,...,x_n] alaptételes, ahol T test.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Második évfolyamzárthelyi a 11-20. előadások anyagából: december 12.