Általános tudnivalók

Vizsgatematika

Mintavizsga

Mintavizsga-megoldás és tanulási útmutató

1. vizsgakérdések válaszokkal

Június 15 (péntek), 0-821, 0-822, 0-823, limit: 144 fő.
Konzultáció: jún. 13. (szerda), 14.00-kor: 0-311 (König terem)

2. vizsgakérdések válaszokkal

Június 29 (péntek), 0-821, 0-822, 0-804, limit: 132 fő.
Konzultáció: jún. 28. (csütörtök), 9.00-kor: 0-312 (Gallai terem)

3. vizsgakérdések válaszokkal

Július 6 (péntek), 0-821, 0-822, limit: 108 fő.
Konzultáció: júl. 5. (csütörtök), 9.00-kor: 0-312 (Gallai terem)

Az előadások tartalma

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Lineáris függetlenség. A bázis fogalma, jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer, dimenzió. Vektor koordinátái adott bázisban. A skaláris szorzat fogalma Rⁿ-ben, vektorok hossza és szöge. Ortonormált bázis. Vektor koordinátáinak felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

3-4. előadás: február 20. A lineáris függés és függetlenség kapcsolata. A kicserélési tétel. Következmények: független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. Valódi altér dimenziója.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Alterek összege. Az összeg elemeinek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg, direkt kiegészítő altér létezése és dimenziója. Ortogonális kiegészítő altér és ennek dimenziója valós fölött.

Lineáris leképezés, lineáris transzformáció. Műveletek lineáris leképezések között. A lineáris leképezések vektorteret, a lineáris transzformációk gyűrűt alkotnak.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

5-6. előadás: február 27. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések vektorterének dimenziója. A bázistranszformáció képlete. Távolságtartó transzformációk. Bázistranszformáció ortonormált bázisok között.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra. Lineáris transzformáció determinánsa, mint a mátrixának a determinánsa, ennek geometriai jelentése. Az invertálhatóság és a determináns kapcsolata.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

7-8. előadás: március 6. Két mátrix szorzatának rangja legfeljebb akkora, mint bármelyik tényező rangja. Az oszloprang és a sorrang megegyezik, determinánsrang. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével. A diád fogalma. Minden mátrix felbontható rangnyi számú diád összegére, de kevesebbre nem. Algoritmus a minimális diádfelbontás meghatározására.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek. Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

9-10. előadás: március 13. Egy A mátrix vagy transzformáció minimálpolinomja. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának (NB). Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A Jordan-normálalak létezése és egyértelműsége (NB). A Jordan-normálalak hatványozása. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik és minden gyöke egyszeres (csak részben bizonyítva). Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban (NB). Hasonló mátrixok.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

11-12. előadás: március 20. Általános bevezetés, példák a csoportelmélet alkalmazásaira.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Gyűrű additív és multiplikatív csoportja, az általános lineáris csoport. A szimmetrikus és az alternáló csoport, ciklusfelbontás. A Klein-csoport, a diédercsoport és a kvaterniócsoport. Geometriai transzformációk csoportjai.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Első évfolyamzárthelyi az 1-10. előadások anyagából: március 23.

13-14. előadás: március 27. A kételemű csoportok szerkezete. Izomorfizmus, ciklikus csoportok, ezek izomorfia-típusai. Hatványozás, elemrend, tulajdonságok. Permutáció rendje. Elemrend ciklikus csoportban.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Részcsoport, jellemzése zártsággal és komplexusszorzással. Lagrange tétele, mellékosztály, index, a baloldali és a jobboldali mellékosztályok száma megegyezik. Egy elemmel generált részcsoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat-tétel. Egy csoportnak akkor és csak akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű. Prímrendű csoport ciklikus. Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus. A ciklikus csoportok részcsoportjainak leírása.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

15-16. előadás: április 17. Permutációcsoport, orbit, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. Ekvivalenciareláció. A kocka szimmetriáinak a száma. Leszámlálás a Burnside-lemma segítségével.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Generált részcsoport, példák. A generált részcsoport elemeinek leírása (NB). A direkt szorzat fogalma. Elem rendje a direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus. Primitív gyök létezése (NB). A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (NB).

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

17-18. előadás: április 24. A homomorfizmus fogalma, elemi tulajdonságai, haszna. Kép és mag, a képelemek teljes inverz képe. Normálosztó, faktorcsoport, homomorfizmus-tétel.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
Elemrend a faktorcsoportban. Kettő indexű részcsoport normálosztó. A normálosztó jellemzése konjugálás segítségével. A direkt szorzat projekciói és belső jellemzése két tényező esetén.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

19-20. előadás: május 8. Két négyelemű csoport van izomorfia erejéig: a ciklikus és a Klein-csoport. Általánosítás: prímnégyzet rendű csoport kommutatív (NB). A hatod- és nyolcadrendű csoportok (NB). A kocka szimmetriacsoportja S₄ és Z₂ direkt szorzata. Egyszerű csoportok. A kommutatív egyszerű csoportok jellemzése. Az A_n alternáló csoport egyszerű, ha n legalább 5 (NB). A gömb mozgáscsoportja egyszerű (NB).

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

A feloldhatóság fogalma (csak meseszerűen) és kapcsolata az egyenletek gyökképletével (NB). Blokkrendszerek, a Mathieu-csoportok (csak mese). Minden prímhatvány rendű csoport feloldható (NB). Burnside kétprímes tétele (NB). A Feit-Thompson-tétel (NB). A véges egyszerű csoportok osztályozása (csak mese). Sporadikus egyszerű csoportok, a Szörnyeteg.

prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).

Második évfolyamzárthelyi a 11-20. előadások anyagából: május 9.