1. előadás: február 11. A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint lineáris kombinációk halmaza.
Lineáris függetlenség. A bázis fogalma, elemszámának egyértelműsége, dimenzió.
Prezentáció
Nyomtatható
Röpdolgozat: február 19-21.
2. előadás: február 18. Vektor koordinátái adott bázisban. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. Bázis jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Valódi altér dimenziója. Vektorrendszer rangja, mint az általa generált altér dimenziója. A rang a maximális független részrendszerek elemszáma. Alterek összege, ennek dimenziója.
A skaláris szorzat fogalma Rn-ben, vektorok hossza. Ortonormált bázis. Vektor koordinátáinak felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével.
Prezentáció
Nyomtatható
Röpdolgozat: február 25-27.
3. előadás: február 25. Lineáris leképezés, lineáris transzformáció. Műveletek lineáris leképezések között. A lineáris leképezések vektorteret, a lineáris transzformációk gyűrűt alkotnak.
Lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, a megfeleltetés mátrix és leképezés között kölcsönösen egyértelmű és művelettartó. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések vektorterének dimenziója.
Prezentáció
Nyomtatható
Röpdolgozat: március 4-6.
4. előadás: március 4. A bázistranszformáció képlete. Hasonló mátrixok. Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra. Lineáris transzformáció determinánsa, mint a mátrixának a determinánsa, ennek geometriai jelentése. Az invertálhatóság és a determináns kapcsolata.
Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek.
Prezentáció
Nyomtatható
Röpdolgozat: március 11-13.
5. előadás: március 11. Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható. Alkalmazás: véges Markov-folyamatok.
Egy A mátrix vagy transzformáció minimálpolinomja. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának. Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek.
Prezentáció
Nyomtatható
Röpdolgozat: március 25-27.
Első évfolyamzárthelyi: március 18, az előadás helyén és idejében, az első négy előadás, illetve az első három gyakorlat feladatsor anyagából.
6. előadás: március 25. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik és minden gyöke egyszeres. Diagonalizálhatóság ortonormált bázisban.
A Jordan-normálalak létezése és egyértelműsége. A minimálpolinom leolvasása a Jordan-alakról. A Jordan-alak hatványozása.
Lineáris leképezés rangja, mint a képtér dimenziója. Összeg és szorzat rangjának felső becslése. Az oszloprang és a sorrang megegyezik, determinánsrang. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével.
Prezentáció
Nyomtatható
Röpdolgozat: április 1-3.
7. előadás: április 1. Skaláris szorzat valós fölötti vektortéren, euklideszi tér. Bázishoz tartozó skaláris szorzat. Hossz, távolság, szög, Cauchy-egyenlőtlenség, háromszög-egyenlőtlenség. Ortogonális és ortonormált vektorrendszer, függetlenségük, vektor koordinátái ortonormált bázisban. Gram-Schmidt-eljárás, merőleges vetület. Euklideszi tér komplex fölött.
Transzformáció és mátrix adjungáltja, jellemzés skaláris szorzattal. Normális transzformáció ortonormált bázisban diagonalizálható, a sajátalterek merőlegesek. Az unitér és ortogonális transzformációk jellemzései, sajátértékeik. Az ortogonális transzformációk szép valós mátrixa. Unitér mátrixszal minden mátrix felső háromszögmátrixszá transzformálható.
Prezentáció
Nyomtatható
Röpdolgozat: április 8-10.
8. előadás: április 8. Önadjungált és szimmetrikus transzformációk, főtengelytétel. Kvadratikus alak, bilineáris függvény, kapcsolatuk, szimmetrikus bilineáris függvény. Komplex és Hermite-féle bilineáris függvény. Bilineáris függvény mátrixa, felírás mátrixszorzás és skaláris szorzat segítségével. Bilineáris függvényhez tartozó ortogonális bázis, ortogonalizálás ONB-ben sajátértékekkel. Kvadratikus alak négyzetösszeg alakja. Sylvester tehetetlenségi tétele. Kvadratikus karakter, leolvasása aldeterminánsokkal. Illusztráció másodfokú görbékkel.
Prezentáció
Nyomtatható
Röpdolgozat: Kiss Emil csoportjainak április 24.
9. előadás: április 15. Alterek összegénél az elemek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg. Direkt kiegészítő altér létezése és dimenziója. Ortogonális kiegészítő altér. Invariáns altér, blokkfelbontás, kapcsolat az adjungált és az ortogonális kiegészítő altér invarianciája között. Néhány korábban elhangott tétel bizonyítása (az euklideszi terek lineáris transzformációinak speciális alakja, tehetetlenségi tétel).
Prezentáció
Nyomtatható
Röpdolgozat: Kiss Emil csoportjainak április 24 (ezen
az órán kettőt írunk).
10. előadás: április 29. Az eddigi restanciák bepótlása, elsősorban a korábban el nem mondott, nehezebb bizonyítások. Röpdolgozat: nincs.
11. előadás: május 6. Az eddigi restanciák bepótlása, elsősorban a korábban el nem mondott, nehezebb bizonyítások. Röpdolgozat: nincs.
Második évfolyamzárthelyi: május 13, az előadás helyén és idejében.