Külön is felhívjuk a figyelmet arra, hogy a polinomokat eleinte csak valós, majd komplex fölött tekintjük, és a félév vége felé vezetjük be az általános gyűrű fölötti polinom fogalmát. Ekkor az összes tételt ilyen általánosságban átismételjük (és a vizsgán így is kérjük számon). Mindkét tankönyvben a felépítés eleve gyűrű (illetve test) fölött történik.
1-2. előadás: szeptember 13. A valós együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség. K2.1,2.3. A szumma és produktum jelölés. Behelyettesítés polinomba, polinomfüggvény. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. K2.4.
3-4. előadás: szeptember 20. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél. A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka, a polinomok azonossági tétele. A gyöktényezős alak. A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. A k-szoros gyök fogalma. Egész együtthatós polinom racionális gyökeinek meghatározása: a racionális gyökteszt. K2.4,2.5,3.3. A binomiális tétel.
5-6. előadás: szeptember 27. A komplex szám mint a+bi alakú formális kifejezés, ahol a és b valós számok. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség. K1.3.
A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. Komplex számok hatványozása.K1.4.
7-8. előadás: október 4. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete.K1.5. Az algebra alaptétele.
A háromszög-egyenlőtlenség. Két pont távolsága. Az eltolás és a forgatva nyújtás kifejezése komplex számok segítségével, geometriai alkalmazások.K1.4.
Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen.F3.1.
9-10. előadás: október 11. Az n magas oszlopvektorok "tere", összeadás, skalárral szorzás. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, nulla, ellentett, skalárral szorzás, transzponált, szorzás, egységmátrix, inverz, műveleti tulajdonságok. Mátrix és vektor szorzata.F2.1. Lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja.
Oszlopvektorok lineáris függetlensége, összefüggősége, ennek eldöntése lineáris egyenletrendszer megoldásával. Vektorrendszer rangja. Mátrix sor- és oszloprangja, ezek egyenlősége. A rang és az inverz kiszámítása Gauss-elimináció segítségével. Szorzat rangja.F3.2-3.5.
Első évfolyamzárthelyi az 1-8. előadások anyagából: október 21, péntek, 16:00. Ennek fejében elmarad az október 18-i előadás.
11-12. előadás: október 25. A 2x2-es és 3x3-as determináns definíciója. Tulajdonságai (minden oszlopban lineáris, és ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla). Következmény: egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik; a determináns oszlopcserénél előjelet vált. A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa. A determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. F1.2,1.3.
Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. A determinánsok szorzástétele. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. A Cramer-szabály. A determináns eltűnésének jellemzése. Vandermonde-determináns.F1.4,1.5,2.2.
13-14. előadás: november 8. Permutáció, transzpozíció, minden permutáció transzpozíciók szorzata. Inverziók, permutáció előjele. Kompozíció, a permutációk szorzástétele. Csere előjele, a páros permutációk száma.K4.2, F1.1
A determináns definíciója. A determináns néhány alaptulajdonságanak bizonyítása: linearitás, ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla, felső háromszögmátrix és transzponált determinánsa.F1.1,1.2,1.3.
15-16. előadás: november 15. Interpoláció. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések.K2.4,K2.5 A többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Nullosztómentesség, fok, homogén polinomok. Az elemi szimmetrikus polinomok.K2.6
A Cardano-képlet (a képletet a vizsgára nem kell megtanulni), használata, többszörös gyökök létezése. Valós együttható esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között, casus irreducibilis. A negyedfokú egyenletre van, a legalább ötödfokúra nincs gyökképlet. K1.2,K3.8.
17-18. előadás: november 22. Maradékos osztás polinomok között: létezés és egyértelműség. Az eljárás során csak a négy alapműveletet kell alkalmazni, és csak az osztó főegyütthatójával kell osztani.K3.2.
Oszthatóság C, R, Q, Z fölött. Ha f és g egész együtthatós polinomok, akkor f|g ugyanazt jelenti Q és C fölött, de Z fölött nem. Csak a nem nulla konstans polinomoknak van reciproka. Egységek. A kitüntetett közös osztó definíciója és meghatározása euklideszi algoritmussal. K3.1.
Az irreducibilis polinom fogalma C, R, Q fölött. A számelmélet alaptétele. Az alaptétel érvényes, ha elvégezhető a maradékos osztás (tehát például C, R, Q fölött), a bizonyítás ugyanaz, mint az egész számok között. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében.
Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Valós fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik. Az egész együtthatós polinomok számelmélete (csak vázlatosan). Primitív polinom, a Z[x] irreducibiliseinek leírása. Az alaptétel érvényes.K3.3-3.5.
19-20. előadás: november 29. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma. Képlet a hatvány rendjére, a rend leolvasása a trigonometrikus alakból. A primitív egységgyök fogalma és felismerése a trigonometrikus alakból. Egy szám akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványai épp az összes n-edik egységgyökök. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása, a körosztási polinom egész együtthatós és irreducibilis. K1.5,3.7.
Asszociativitás, kommutativitás, nullelem, egységelem, ellentett, inverz. Egy műveletnek csak egy nulleleme lehet. Az inverz egyértelmű. Gyűrű, test, példák. K2.2.
Nullosztómentesség, minden test nullosztómentes. A Zn gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám. K1.1,2.2,3.3.
21-22. előadás: december 6. Hatványozás, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Zp[x]-ben tagonként lehet p-edik hatványra emelni, ha p prím. Következmény: a kis Fermat-tétel.
Egységelemes, kommutatív gyűrű fölötti polinomgyűrű, fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A polinomgyűrű egységei. A gyöktényező kiemelhető, de a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezőket egyszerre általában csak nullosztómentes gyűrű fölött lehet kiemelni. Következmény: nullosztómentes gyűrű fölött érvényes, hogy nem lehet a fokszámnál több gyök. Végtelen, nullosztómentes gyűrű fölött igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű fölött nem.K2.4.
A számelmélet alapjai általános gyűrűben. Nullosztómentes gyűrű fölött lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, aminek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség. Ha elvégezhető a maradékos osztás, akkor van kitüntetett közös osztó, minden irreducibilis elem prím, ezért a gyűrű alaptételes. Test fölötti polinomgyűrű alaptételes. Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad-, és magasabb fokú polinomok esetén.K3.1,3.3.
Alaptételes gyűrű fölötti polinomgyűrű is az. Következmény: Z[x1,...,xn] és T[x1,...,xn] alaptételes, ahol T test. K2.6,3.4.
Második évfolyamzárthelyi a 9-22. előadások anyagából: december 9, péntek, 16:00. Ennek fejében elmarad a december 13-i előadás.
A 13-i előadáson ugyanazok írnak, mint akik október 18-án az előadáson írták az első zárthelyit.