Algebra3 alkmat előadás, 2020 ősz

Az előadások tartalma

Ennek a félévnek az anyagát lefedi az alábbi tankönyv:

A félév anyaga az, ami az egyes előadások alábbi összefoglalójának végén látható, letölthető anyagban szerepel, beleértve a tankönyvi hivatkozásokat is, de ebből nincs minden számon kérve. A vizsga anyaga (definíciók, tételek, bizonyítandók listája) az utolsó előadást tartalmazó prezentáció legvégén található.

  1. Szeptember 7. Mese a csoportelmélet alkalmazásairól (nem tananyag). Szimmetriák és kompozícióik. Csoport fogalma. Neutrális elem és inverz egyértelmű. Kommutatív csoport fogalma. Additív és multiplikatív írásmód és terminológia. Példák: vektortér additív csoportja, gyűrűk additív és multiplikatív csoportja, általános lineáris csoport, a sík egybevágóságai. Csoportok megadása művelettáblával (Cayley-táblázat). Klein-csoport. Diédercsoport, számolási szabályok. Kvaterniócsoport. Szimmetrikus csoport. Permutációk ciklusfölbontása. Geometriai transzformációk csoportjai. Izomorf csoportok. Csoportelem rendje, példák. Képlet hatvány rendjére. Permutáció rendjének leolvasása. Ciklikus csoportok, osztályozásuk.
  2. Szeptember 14. Részcsoport fogalma. Részcsoportok jellemzése műveletekre való zártsággal. Komplexusok, komplexusműveletek. Példák. Alternáló csoport, speciális lineáris csoport. Részcsoportok metszete részcsoport (uniójuk nem feltétlenül az). Ciklikus csoport részcsoportjai. Mellékosztályok. Partíciót alkotnak. A mellékosztályok jellemzései. A bal és a jobb oldali mellékosztályok száma ugyanaz. Részcsoport indexe. Lagrange-tétel: részcsoport, ill. elem rendje osztja a csoport rendjét (ha ez véges). Euler–Fermat-tétel. Prímrendű csoport ciklikus. Csoportnak pontosan akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű. Permutációcsoportok. Fixpont; stabilizátor, eszerinti mellékosztályok jellemzése. Pálya (orbit); ennek elemszáma a stabilizátor indexe, tranzitivitás. Ekvivalencia-reláció, a pályák partíciót alkotnak. Csoporthatás; Burnside-lemma: csoporthatás orbitjainak száma egyenlő a csoportelemek fixpontszámának átlagával. Alkalmazás leszámlálási feladatokra.
  3. Szeptember 21. Generált részcsoport mint a legszűkebb, az adott halmazt tartalmazó részcsoport, vagyis az adott halmazt tartalmazó részcsoportok metszete. Generált részcsoport elemeinek fölírása általános és kommutatív esetben. Csoporthomomorfizmusok. Példák, alaptulajdonságok. Cayley tétele. A konjugálás mint automorfizmus. Homomorfizmus magja és képe; a mag zárt a külső elemmel való konjugálásra. Normális részcsoport (normálosztó) mint konjugálásra zárt részcsoport. A normálosztók jellemzései: a jobb és a bal oldali mellékosztályok megegyeznek, a részcsoport konjugáltosztályok uniója. Kettő indexű részcsoport mindig normálosztó. Példák. Faktorcsoport. Homomorfizmustétel. Elem rendje a faktorcsoportban. Konjugálás szimmetrikus csoportban. Véges szimmetrikus csoport két elemmel generálható.
  4. Szeptember 28. Direkt szorzat. Elemrend a direkt szorzatban; ciklikusok direkt szorzata mikor ciklikus. Alkalmazás: szükséges feltétel primitív gyök létezésére modulo m. A direkt szorzat belső jellemzése; példák. A véges Abel-csoportok alaptétele; adott elemszámúak osztályozása. Kis elemszámú csoportok. Módszerek csoportok izomorfiájának vizsgálatára; pl. az elemrendek összehasonlításával. Példa olyan nem izomorf 27 elemű csoportokra, amelyekben minden elem köbe 1. Egyszerű csoportok. Klasszifikációs tétel és Feit–Thompson-tétel (bizonyítás nélkül).
  5. Október 5. Részgyűrű, generált részgyűrű. A kvaterniók ferdeteste. Véges nullosztómentes gyűrű ferdetest. Wedderburn tétele (minden véges ferdetest kommutatív, bizonyítás nélkül). Homomorfizmus, mag és kép. Ideál, bal- és jobbideál. Generált balideál elemeinek felírása egységelemes gyűrűben, főideál. Főideálgyűrű, euklideszi gyűrű. Minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű. Z, K[x] euklideszi (K test). Z[x] nem főideálgyűrű (de alaptételes). Kitüntetett közös osztó mint az elemek által generált ideál generátoreleme. Minden főideálgyűrű alaptételes. Példa nem alaptételes szokásos gyűrűre. Gyűrűk direkt szorzata, belső jellemzés ideálokkal.
  6. Október 12. Ferdetest balideáljai triviálisak. Egyszerű gyűrű, példák. Kommutatív, egységelemes egyszerű gyűrű test. Minden balideálmentes gyűrű test (bizonyítás nélkül). Faktorgyűrű, természetes homomorfizmus. Homomorfizmustétel. A komplex számtest mint faktorgyűrű. K[x]/(f) pontosan akkor test, ha f irreducibilis. K[x]/(f)-ben f-nek van gyöke. Bővebb test konstrukciója, amelyben egy adott irreducibilis polinomnak már van gyöke. Négyelemű test. Nullosztómentes gyűrűben a nem nulla elemek additív rendje vagy végtelen, vagy mindegyiké ugyanaz a prímszám. Karakterisztika, prímtest.
  7. Október 19. A testbővítés fogalma. Közbülső test, adott elemek által generált közbülső test. A minimálpolinom mint az adott elemen eltűnő polinomok ideáljának generátoreleme. Algebrai és transzcendens elem. A minimálpolinom irreducibilis; a minimálpolinom jellemzése. Algebrai elemmel való egyszerű bővítés elemeinek egyértelmű fölírása a generátorelem alacsony fokú polinomjaként, műveletek az így felírt elemekkel. Algebrai elem foka, a testbővítés foka. Nullkarakterisztikájú test véges bővítése egyszerű (bizonyítás nélkül).
  8. Első évfolyamzárthelyi: november 2. Canvas segítségével.
  9. November 9. Testbővítések fokának szorzástétele. Véges bővítés algebrai, elem foka osztja a bővítés fokát. Bővítés algebrai elemei közbülső testet alkotnak. Összeg és szorzat fokának becslése. Az algebrai számok teste algebrailag zárt. Egyszerű algebrai bővítés, mint faktorgyűrű, konstrukciója. Minden testnek van algebrai lezártja (bizonyítás nélkül). Felbontási test fogalma, létezése. Normális bővítés; példa bővítésre, amely nem normális. Véges bővítés pontosan akkor normális, ha egy polinom felbontási teste. Másodfokú bővítés normális. Egyszerű algebrai bővítések izomorfak, ha azonos a generáló elemek minimálpolinomja. A felbontási test egyértelműsége. A geometriai szerkeszthetőség alapjai. Szerkeszthető számok, a szerkeszthetőség szükséges és elégséges feltétele (NB). Nevezetes szerkeszthetőségi problémák.
  10. November 16. Véges test elemszáma prímhatvány; az additív és a multiplikatív csoport leírása. Minden prímhatványra egyértelműen létezik ilyen elemszámú test. xq-x fölbontása. Véges test véges bővítése egyszerű és normális, a közbülső testek száma és foka. Véges test fölött létezik tetszőleges fokú irreducibilis polinom. Primitív polinom. Algebra fogalma. Frobenius tétele (bizonyítás nélkül); a feltételek egyike sem hagyható el. Algebra elemének minimálpolinomja, az irreducibilitás és a nullosztómentesség kapcsolata. Az x2+1 gyökei a kvaterniók között. A kvaterniók kapcsolata a skaláris és vektoriális szorzással. Térbeli forgatások leírása kvaterniókonjugálással, Euler-mátrix. Az egységkvaterniók csoportja izomorf  az SU(2) speciális unitér csoporttal. Kapcsolat a fizikával.
  11. November 23. Hibajavító kódok. Hibajelzés és javítás, Hamming-távolság. Hamming-korlát, Singleton-korlát. Perfekt kódok. Lineáris kódok, Hamming-kód és dekódolása, polinomkódok, elégséges feltétel a t-hibajavításra, Reed-Solomon-kód, BCH-kód, ciklikus kód.
  12. November 30. Csoportalgebra, csoportreprezentációk. Véges Abel-csoport karakterei és duálisa. A csoportalgebra direkt felbontása, új bázis. Diszkrét Fourier-transzformáció és inverze, tulajdonságai. Hangminta transzformáltja, frekvenciatartomány, aliasing. 2D diszkrét Fourier-transzformáció. Zajcsökkentés a képfeldolgozásban. Diszkrét koszinusz-transzformáció, JPEG tömörítés. Keretek és csoportok.
  13. Második évfolyamzárthelyi: december 7. Canvas segítségével.