Szeptember 12. Gyűrűhomomorfizmus és izomorfizmus, kép és mag. Balideál, jobbideál, ideál, főideál, egyszerű gyűrű. Test egyszerű gyűrű, a teljes mátrixgyűrű is az (NB). Kommutatív, egységelemes, egyszerű gyűrű test. Balideálmentes gyűrűk (NB). Nullosztó, annullátor. Véges nullosztómentes gyűrű test. Wedderburn tétele (NB).
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
Faktorgyűrű, példák. A komplex számok új konstrukciója. A homomorfizmustétel. Négyelemű test készítése. Az egészek gyűrűje, és minden test fölötti polinomgyűrű főideálgyűrű. Általánosítás: minden euklideszi gyűrű főideálgyűrű. Példa: a Gauss-egészek.
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
Szeptember 19. Oszthatóság, egység, felbonthatatlan, prím szokásos gyűrűben, alaptételes gyűrű. Kitüntetett közös osztó, kapcsolata az alaptétellel. Az oszthatóság és a kitüntetett közös osztó az ideálok nyelvén. Z[x] (alaptételes, de) nem főideálgyűrű. Főideálgyűrű alaptételes. Példa nem alaptételes gyűrűre.
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
Szeptember 26. Két négyzetszám különbségeként írható számok. Gauss-egész normája, egységek. Maradékos osztás Gauss-egészek között. A Gauss-prímek leírása. A két négyzetszám probléma megoldása (a megoldásszám NB).
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
Testbővítés egy elemének minimálpolinomja és jellemzése az irreducibilitás segítségével. Algebrai és transzcendens elemek és számok. Egyszerű algebrai bővítés elemeinek normálalakja. Példák.
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
Október 3. Egyszerű bővítés transzcendens elemmel. Az egyszerű testbővítés mint generátum. Bővítés több elemmel, ha ezek algebraiak, akkor osztásra nincs szükség. Testbővítés és elem foka, az algebraiság jellemzése a bővítés fokának végességével. A szorzástétel. Elem foka osztója a bővítés fokának.
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
Október 10. Véges és algebrai bővítés, kapcsolatuk. Az algebrai elemek résztestet alkotnak, ami a gyökvonásra is zárt. Összeg, szorzat fokának becslése. Az algebrai számok teste algebrailag zárt. Transzcendens számokról szóló tételek (NB). Testbővítés konstrukciója faktorgyűrű segítségével. Felbontási test létezése.
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
Az euklideszi szerkesztés fogalma és algebraizálása, szerkeszthető számok. A szerkeszthetőség szükséges feltétele. Kockakettőzés, körnégyszögesítés, szögharmadolás, szabályos sokszög szerkeszthetősége, a körosztási polinom szerepe. A szerkeszthetőség elégséges feltétele (NB). A legalább ötödfokú polinomokhoz nem létezik általános gyökképlet (NB).
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
Első évfolyamzárthelyi: október 17.
Október 24. Nullosztómentes gyűrű karakterisztikája. Véges p karakterisztikában a p-edik hatványra emelés a Frobenius-endomorfizmus. Prímtest, szerkezete. A véges testek elemszáma, konstrukciója (az egyértelműség NB). Véges test multiplikatív csoportja ciklikus. Véges test résztestei. Irreducibilis polinomok létezése Zp fölött.
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
November 7. A kódolás típusai. A hibajavító kódolás alkalmazásai, szempontjai. Ábécé, kódszavak, (n,k)-paraméterű kód, a kód hossza, t-hibajelzés, t-hibajavítás. Hamming-távolság, a kód minimális távolsága. Hamming-korlát, Singleton-korlát (NB). Lineáris kód, polinomkód, Reed-Solomon-kód, ennek minimális távolsága, BCH-kód. A CD-lemezeken használt kódolás.
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
November 14. Skaláris szorzat valós fölötti vektortéren, euklideszi tér. Bázishoz tartozó skaláris szorzat. Hossz, távolság, szög, Cauchy-egyenlőtlenség, háromszög-egyenlőtlenség. Ortogonális és ortonormált vektorrendszer, függetlenségük, vektor koordinátái ortonormált bázisban. Gram--Schmidt-eljárás, merőleges vetület, ortogonális kiegészítő altér. Euklideszi tér komplex fölött.
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
November 21. Transzformáció és mátrix adjungáltja, jellemzés skaláris szorzattal. Invariáns altér, blokkfelbontás, kapcsolat az adjungált és az ortogonális kiegészítő altér invarianciája között. Normális transzformáció ortonormált bázisban diagonalizálható, a sajátalterek merőlegesek. Az unitér és ortogonális transzformációk jellemzései, sajátértékeik. Az ortogonális transzformációk szép valós mátrixa. Unitér mátrixszal minden mátrix felső háromszögmátrixszá transzformálható (NB).
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
November 28. Önadjungált és szimmetrikus transzformációk, főtengelytétel. Kvadratikus alak, bilineáris függvény, kapcsolatuk, szimmetrikus bilineáris függvény. Bilineáris függvény mátrixa, felírás mátrixszorzás és skaláris szorzat segítségével. Komplex és Hermite-féle bilineáris függvény.
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
December 5. Bilineáris függvényhez tartozó ortogonális bázis, ortogonalizálás ONB-ben sajátértékekkel. Kvadratikus alak négyzetösszeg alakja. Sylvester tehetetlenségi tétele. Kvadratikus karakter, leolvasása aldeterminánsokkal. Illusztráció másodfokú görbékkel.
prezentáció (pdf).
nyomtatható változat (pdf).
Második évfolyamzárthelyi: december 12.