Vizsgaidőpontok és helyszínek

December 22 (kedd).

1. előadás: szeptember 8. A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint lineáris kombinációk halmaza.

Lineáris függetlenség. A bázis fogalma, dimenzió. Vektor koordinátái adott bázisban. A szokásos bázis oszlopvektorok, mátrixok, polinomok között.

2. előadás: szeptember 15. A lineáris függés és függetlenség kapcsolata. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. Bázis jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Valódi altér dimenziója.

3. előadás: szeptember 22. Alterek összege. Az összeg elemeinek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg, direkt kiegészítő altér létezése és dimenziója.

Lineáris leképezés, lineáris transzformáció. Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel.

A lineáris leképezések előírhatósági tétele, lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban.

4. előadás: szeptember 29. Műveletek lineáris leképezések között. Mintabizonyítás: lineáris leképezések összege is lineáris. A lineáris leképezések vektorteret, a lineáris transzformációk gyűrűt alkotnak. Mintabizonyítás: jobb oldali disztributivitás. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között. Vektor képének koordinátái. Lineáris leképezés inverze, ennek mátrixa.

5. előadás: október 6. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések vektorterének dimenziója.

Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek.

Egy A mátrix vagy transzformáció minimálpolinomja. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak. A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának. Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek.

6. előadás: október 13. Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik és minden gyöke egyszeres. A Jordan-normálalak létezése és egyértelműsége.

A bázistranszformáció képlete. Hasonló mátrixok. Lineáris transzformáció determinánsa, mint a mátrixának a determinánsa, ennek geometriai jelentése. Az invertálhatóság és a determináns kapcsolata.

Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra.

Vektorrendszer és lineáris leképezés rangja. Két mátrix szorzatának rangja legfeljebb akkora, mint bármelyik tényező rangja. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével.

Első évfolyamzárthelyi az 1-6. előadások anyagából: október 16.

7. előadás: október 20. A csoport fogalma, gyűrű additív és multiplikatív csoportja. A szimmetrikus és az alternáló csoport, a páros és páratlan permutációk jellemzése transzpozíciókkal, ciklusfelbontás (gyakorlaton).

8. előadás: november 3. A Klein-csoport, a diédercsoport és a kvaterniócsoport. Az általános lineáris csoport, geometriai transzformációk csoportjai.

Hatványozás, elemrend, tulajdonságok. Permutáció rendje. A kételemű csoportok szerkezete. Homomorfizmus, izomorfizmus, a téglalap szimmetriacsoportja a Klein-csoport. Ciklikus csoportok, ezek izomorfia-típusai.

9. előadás: november 10. Elemrend ciklikus csoportban. A generátorok száma. Két négyelemű csoport van izomorfia erejéig: a ciklikus és a Klein-csoport.

Részcsoport, jellemzése zártsággal és komplexusszorzással. Lagrange tétele, mellékosztály, index, a baloldali és a jobboldali mellékosztályok száma megegyezik. Egy elemmel generált részcsoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat-tétel. Egy csoportnak akkor és csak akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű. Prímrendű csoport ciklikus.

10. előadás: november 17. Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus. A ciklikus csoportok részcsoportjainak és elemrendjeinek leírása.

Generált részcsoport, példák. A generált részcsoport elemeinek leírása a kommutatív és az általános esetben.

11. előadás: november 24. Permutációcsoport, pálya, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A pályák partíciót alkotnak. A kocka szimmetriáinak a száma.

A direkt szorzat fogalma. Elem rendje a direkt szorzatban. A direkt szorzat mikor ciklikus. Primitív gyök létezése.

Kis elemszámú csoportok: a hatod- és nyolcadrendű csoportok (NB). Általánosítás: a 2p rendű csoportok, ahol p prím (NB). Prímnégyzet rendű csoport kommutatív (NB).

12. előadás: december 1. A direkt szorzat belső jellemzése. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség. A kocka szimmetriacsoportja S₄ és Z₂ direkt szorzata.

Második évfolyamzárthelyi a 13-24. előadások anyagából: december 4.