1-2. előadás: február 10. A komplex szám mint a+bi alakú formális kifejezés, ahol a és b valós számok. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség. K1.3.
A sík és tér vektorai: összeadás és skalárral szorzás. A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. A háromszög-egyenlőtlenség. Két pont távolsága. Az eltolás és a forgatva nyújtás kifejezése komplex számok segítségével. K1.4.
3-4. előadás: február 17. Komplex számok hatványozása. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. K1.5.
Az n magas (komplex) oszlopvektorok "tere", összeadás, skalárral szorzás. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, szorzás, skalárral szorzás, transzponált, műveleti tulajdonságok (egyelőre jórészt csak mintabizonyítások). Mátrix és vektor szorzata. Lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja. F2.1.
Gyakorlaton: Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen. F3.1.
5-6. előadás: február 24. Permutáció, inverziók, permutáció előjele. A determináns definíciója. K4.2,F1.1,1.2. Tulajdonságai (minden oszlopban lineáris, és ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla). Egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik; a determináns oszlopcserénél előjelet vált. A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa. A determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. F1.2,1.3. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel (NB).
7-8. előadás: március 3. A ferde kifejtési tétel. Az inverz mátrix definíciója és képlete. A determinánsok szorzástétele (NB). Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. Az inverz mátrix kiszámítása Gauss-eliminációval (NB). Vandermonde-determináns F1.4,1.5,2.2.
9-10. előadás: március 10. A Cramer-szabály. Oszlopvektorok lineáris függetlensége, összefüggősége, ennek eldöntése lineáris egyenletrendszer megoldásával. A determináns eltűnésének jellemzése (NB). Vektorrendszer rangja. Mátrix sor- és oszloprangja, ezek egyenlősége (NB). A rang kiszámítása Gauss-elimináció segítségével. Szorzat rangja (NB). F3.2-3.5.
Első évfolyamzárthelyi az 1-10. előadások anyagából: március 17 (az előadás idejében).
11-12. előadás: április 7. A komplex együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség. K2.1,2.3.
Behelyettesítés polinomba. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél (gyakorlaton). A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka, a polinomok azonossági tétele. Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak. A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. Az xn-1 polinom gyöktényezős alakja (gyakorlaton). A gyökök és együtthatók közötti összefüggések (részben gyakorlaton). A racionális gyökök meghatározása: a racionális gyökteszt (gyakorlaton). K2.4,2.5,3.3.
13-14. előadás: április 14. Maradékos osztás polinomok között: létezés és egyértelműség. Az eljárás során csak a négy alapműveletet kell alkalmazni, és csak az osztó főegyütthatójával kell osztani.
A k-szoros gyök fogalma. Az algebra alaptételének következménye: a polinom foka a gyökök multiplicitásainak összege. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. K2.4,2.5,2.6,3.3.
Oszthatóság C, R, Q, Z fölött. Ha f és g egész együtthatós polinomok, akkor f|g ugyanazt jelenti Q és C fölött, de Z fölött nem. Csak a nem nulla konstans polinomoknak van reciproka. Egységek. A kitüntetett közös osztó definíciója és meghatározása euklideszi algoritmussal. K3.2.
15-16. előadás: április 21. Az irreducibilis polinom fogalma C, R, Q fölött. A számelmélet alaptétele. Az alaptétel érvényes, ha elvégezhető a maradékos osztás (tehát például C, R, Q fölött), a bizonyítás ugyanaz, mint az egész számok között. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Valós fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. A Schönemann-Eisenstein kritérium (NB). Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik. Az egész együtthatós polinomok számelmélete (csak az állítások kimondása). Primitív polinom, a Z[x] irreducibiliseinek leírása (NB). Az alaptétel érvényes (NB). K3.3-3.5.
17-18. előadás: április 28. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma. Képlet a hatvány rendjére, a rend leolvasása a trigonometrikus alakból. A primitív egységgyök fogalma és felismerése a trigonometrikus alakból. Egy szám akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványai épp az összes n-edik egységgyökök. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása, a körosztási polinom egész együtthatós és irreducibilis (NB). K1.5,3.7.
A Cardano-képlet (a képletet a vizsgára nem kell megtanulni). Valós együttható esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között, casus irreducibilis (NB). A negyedfokú egyenletre van, a legalább ötödfokúra nincs gyökképlet (NB). K1.2,3.8.
Második évfolyamzárthelyi a 11-20. előadások anyagából: május 5 (az előadás idejében).
19-20. előadás: május 12. Asszociativitás, kommutativitás, nullelem, egységelem, ellentett, inverz. Egy műveletnek csak egy nulleleme lehet (NB). Az inverz egyértelmű (NB). Gyűrű, test, példák. K2.2.
Nullosztómentesség, minden test nullosztómentes. A Zn gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám (NB). Hatványozás, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Zp[x]-ben tagonként lehet p-edik hatványra emelni (p prím). Következmény: a kis Fermat-tétel (NB). K1.1,2.2,3.3.
Egységelemes, kommutatív gyűrű fölötti polinomgyűrű, fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A polinomgyűrű egységei. A gyöktényező kiemelhető, de a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezőket egyszerre általában csak nullosztómentes gyűrű fölött lehet kiemelni. Következmény: nullosztómentes gyűrű fölött érvényes, hogy nem lehet a fokszámnál több gyök. Végtelen, nullosztómentes gyűrű fölött igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű fölött nem. K2.4.
A számelmélet alapjai általános gyűrűben. Nullosztómentes gyűrű fölött lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, aminek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség. Test fölötti polinomgyűrű alaptételes. Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad-, és magasabb fokú polinomok esetén. K3.1,3.3.
A többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Alaptételes gyűrű fölötti polinomgyűrű is az (NB). Következmény: Z[x1,...,xn] és T[x1,...,xn] alaptételes, ahol T test. K2.6,3.4.