Általános tudnivalók

Vizsgatematika

Vizsgakérdések válaszok nélkül
Vizsgakérdések válaszokkal

Január 14. (konzultáció: jan. 13).

Vizsgakérdések válaszok nélkül
Vizsgakérdések válaszokkal

Január 21. (konzultáció: jan. 20).

Vizsgakérdések válaszok nélkül
Vizsgakérdések válaszokkal

Január 28. (konzultáció: jan. 27).

Vizsgakérdések válaszok nélkül
Vizsgakérdések válaszokkal

Az előadások tartalma

• Kiss Emil: Bevezetés az Algebrába (klasszikus és absztrakt algebra);
• Freud Róbert: Lineáris Algebra.

1-2. előadás: szeptember 10. A komplex szám mint a+bi alakú formális kifejezés, ahol a és b valós számok. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség. K1.3.

3-4. előadás: szeptember 17. A sík és tér vektorai: összeadás és skalárral szorzás. A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. A háromszög-egyenlőtlenség. Két pont távolsága. Az eltolás és a forgatva nyújtás kifejezése komplex számok segítségével, geometriai alkalmazások. K1.4.

Komplex számok hatványozása. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. K1.5.

5-6. előadás: szeptember 24. Az n magas (komplex) oszlopvektorok "tere", összeadás, skalárral szorzás. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, szorzás, skalárral szorzás, transzponált, műveleti tulajdonságok (egyelőre jórészt csak mintabizonyítások). Mátrix és vektor szorzata. Egyes konkrét síkbeli transzformációk esetében vektor képének kiszámítása, kompozíció kiszámítása, mint illusztráció és motiváció. F2.1.

Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen. Lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja. F3.1.

7-8. előadás: október 1. A paralelogramma területének kiszámítása a síkon. A kétszer kettes determináns. A paralelepipedon térfogatának kiszámítása a térben (NB). A 2x2-es és 3x3-as determináns definíciója. Tulajdonságai (minden oszlopban lineáris, és ha két oszlop egyenlő, akkor a determináns nulla). Következmény: egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik; a determináns oszlopcserénél előjelet vált. A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. Felső háromszögmátrix determinánsa. A determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. F1.2,1.3. Az inverz mátrix definíciója, 2x2-es mátrix inverzének képlete.

9-10. előadás: október 8. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel (NB). A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. A determinánsok szorzástétele (NB). Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. Az inverz mátrix kiszámítása Gauss-eliminációval (NB, gyakorlaton).

Permutáció, inverziók, permutáció előjele. A determináns definíciója. K4.2,F1.1,1.2. A determináns néhány alaptulajdonságanak bizonyítása: linearitás, felső háromszögmátrix. F1.2,1.3.

11-12. előadás: október 15. A Cramer-szabály. A determináns eltűnésének jellemzése. Vandermonde-determináns (bizonyítás gyakorlaton). F1.4,1.5,2.2.

Oszlopvektorok lineáris függetlensége, összefüggősége, ennek eldöntése lineáris egyenletrendszer megoldásával. Vektorrendszer rangja. Mátrix sor- és oszloprangja, ezek egyenlősége (bizonyítás csak vázlatosan). A rang kiszámítása Gauss-elimináció segítségével. Szorzat rangja (NB). F3.2-3.5.

Első évfolyamzárthelyi az 1-12. előadások anyagából: november 5.

13-14. előadás: október 22. A komplex együtthatós polinom, mint formális kifejezés. Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség. K2.1,2.3.

Behelyettesítés polinomba. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél (gyakorlaton). A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők egyszerre is kiemelhetők. A gyökök száma legfeljebb a polinom foka, a polinomok azonossági tétele. Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak. A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. Az xⁿ-1 polinom gyöktényezős alakja (gyakorlaton). A gyökök és együtthatók közötti összefüggések (részben gyakorlaton). A racionális gyökök meghatározása: a racionális gyökteszt (gyakorlaton). K2.4,2.5,3.3.

15-16. előadás: november 12. A k-szoros gyök fogalma. Az algebra alaptételének következménye: a polinom foka a gyökök multiplicitásainak összege. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. K2.4,2.5,2.6,3.3. A szumma és produktum jelölés.

Maradékos osztás polinomok között: létezés és egyértelműség. Az eljárás során csak a négy alapműveletet kell alkalmazni, és csak az osztó főegyütthatójával kell osztani. Oszthatóság C, R, Q, Z fölött. Ha f és g egész együtthatós polinomok, akkor f|g ugyanazt jelenti Q és C fölött, de Z fölött nem. Csak a nem nulla konstans polinomoknak van reciproka. Egységek. A kitüntetett közös osztó definíciója és meghatározása euklideszi algoritmussal. K3.2.

17-18. előadás: november 19. Az irreducibilis polinom fogalma C, R, Q fölött. A számelmélet alaptétele. Az alaptétel érvényes, ha elvégezhető a maradékos osztás (tehát például C, R, Q fölött), a bizonyítás ugyanaz, mint az egész számok között. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Valós fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. A Schönemann-Eisenstein kritérium (NB). Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik. Az egész együtthatós polinomok számelmélete (csak vázlatosan). Primitív polinom, a Z[x] irreducibiliseinek leírása (NB). Az alaptétel érvényes (NB). K3.3-3.5.

19-20. előadás: november 26. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma. Képlet a hatvány rendjére, a rend leolvasása a trigonometrikus alakból. A primitív egységgyök fogalma és felismerése a trigonometrikus alakból. Egy szám akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványai épp az összes n-edik egységgyökök. A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása, a körosztási polinom egész együtthatós és irreducibilis (NB). K1.5,3.7.

Asszociativitás, kommutativitás, nullelem, egységelem, ellentett, inverz. Egy műveletnek csak egy nulleleme lehet (NB). Az inverz egyértelmű (NB). Gyűrű, test, példák. K2.2.

21-22. előadás: december 3. Nullosztómentesség, minden test nullosztómentes. A Z_n gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám (NB). Hatványozás, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Z_n[x]-ben tagonként lehet p-edik hatványra emelni. Következmény: a kis Fermat-tétel (NB). K1.1,2.2,3.3.

Egységelemes, kommutatív gyűrű fölötti polinomgyűrű, fokszám, a nullosztómentesség kérdése. A polinomgyűrű egységei. A gyöktényező kiemelhető, de a különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezőket egyszerre általában csak nullosztómentes gyűrű fölött lehet kiemelni. Következmény: nullosztómentes gyűrű fölött érvényes, hogy nem lehet a fokszámnál több gyök. Végtelen, nullosztómentes gyűrű fölött igaz a polinomok azonossági tétele, de véges gyűrű fölött nem. K2.4.

A számelmélet alapjai általános gyűrűben. Nullosztómentes gyűrű fölött lehet maradékosan osztani minden olyan polinommal, aminek a főegyütthatója invertálható; egyértelműség. Test fölötti polinomgyűrű alaptételes. Az irreducibilitás és a gyökök létezésének összefüggése tetszőleges test fölött első-, másod-, harmad-, és magasabb fokú polinomok esetén. K3.1,3.3.

A többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Alaptételes gyűrű fölötti polinomgyűrű is az (NB). Következmény: Z[x₁,...,x_n] és T[x₁,...,x_n] alaptételes, ahol T test. K2.6,3.4.

A Cardano-képlet (a képletet a vizsgára nem kell megtanulni). Valós együttható esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között, casus irreducibilis (NB). A negyedfokú egyenletre van, a legalább ötödfokúra nincs gyökképlet (NB). K1.2,3.8.

Második évfolyamzárthelyi a 13-22. előadások anyagából: december 10.