Vizsgaidőpontok és helyszínek

Május 25 (hétfő).

1. előadás: február 10. A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint lineáris kombinációk halmaza.

Lineáris függetlenség. A bázis fogalma, dimenzió. Vektor koordinátái adott bázisban. A szokásos bázis oszlopvektorok, mátrixok, polinomok között.

2. előadás: február 17. A lineáris függés és függetlenség kapcsolata. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré, minden független rendszer kiegészíthető bázissá, a bázis elemszámának egyértelműsége. Bázis jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Valódi altér dimenziója.

Alterek összege. Az összeg elemeinek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg, direkt kiegészítő altér létezése és dimenziója.

3. előadás: február 24. Lineáris leképezés, lineáris transzformáció. Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel.

A lineáris leképezések előírhatósági tétele, lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban.

4. előadás: március 3. Műveletek lineáris leképezések között. Mintabizonyítás: lineáris leképezések összege is lineáris. A lineáris leképezések vektorteret, a lineáris transzformációk gyűrűt alkotnak. Mintabizonyítás: jobb oldali disztributivitás. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között. Vektor képének koordinátái. Lineáris leképezés inverze, ennek mátrixa.

5. előadás: március 10. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések vektorterének dimenziója. A bázistranszformáció képlete. Lineáris transzformáció determinánsa, mint a mátrixának a determinánsa, ennek geometriai jelentése. Az invertálhatóság és a determináns kapcsolata.

Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra.

Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek.

6. előadás: március 17. Különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható.

Egy A mátrix vagy transzformáció minimálpolinomja. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak (NB). A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának. Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek.

A Jordan-normálalak létezése és egyértelműsége. A Jordan-normálalak hatványozása. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik és minden gyöke egyszeres. Hasonló mátrixok.

Vektorrendszer és lineáris leképezés rangja. Két mátrix szorzatának rangja legfeljebb akkora, mint bármelyik tényező rangja. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével.

7. előadás: március 24. ZH miatt nincs (helyette konzultáció).

8. előadás: március 31. Általános bevezetés. Gyűrű additív és multiplikatív csoportja, az általános lineáris csoport. A szimmetrikus és az alternáló csoport, ciklusfelbontás. A Klein-csoport, a diédercsoport és a kvaterniócsoport. Geometriai transzformációk csoportjai.

Hatványozás, elemrend, tulajdonságok.

9. előadás: április 7. Permutáció rendje. A kételemű csoportok szerkezete. Homomorfizmus, izomorfizmus, ciklikus csoportok, ezek izomorfia-típusai. Elemrend ciklikus csoportban. A generátorok száma.

Két négyelemű csoport van izomorfia erejéig: a ciklikus és a Klein-csoport. Általánosítás: prímnégyzet rendű csoport kommutatív. A hatod- és nyolcadrendű csoportok.

10. előadás: április 21. Részcsoport, jellemzése zártsággal és komplexusszorzással. Lagrange tétele, mellékosztály, index, a baloldali és a jobboldali mellékosztályok száma megegyezik. Egy elemmel generált részcsoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat-tétel. Egy csoportnak akkor és csak akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű. Prímrendű csoport ciklikus. Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus. A ciklikus csoportok részcsoportjainak és elemrendjeinek leírása.

11. előadás: április 28. Generált részcsoport, példák. A generált részcsoport elemeinek leírása a kommutatív és az általános esetben.

Permutációcsoport, pálya, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A pályák partíciót alkotnak. A kocka szimmetriáinak a száma.

A direkt szorzat fogalma. Elem rendje a direkt szorzatban.

12. előadás: május 5. A direkt szorzat mikor ciklikus. Primitív gyök létezése. A direkt szorzat belső jellemzése. A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség. A kocka szimmetriacsoportja S₄ és Z₂ direkt szorzata. A Burnside-lemma, egy alkalmazás. Véges test multiplikatív csoportja ciklikus.