Borromeo gyűrűk
BSc Matematika Alapszak
Tantárgyleírás
2020.
Download pdf

Mértékelmélet

  • Óraszám (ea+gy): 2 + 2
  • Specializáció: alk. mat.
  • Kredit (ea+gy): 3 + 2
  • Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
  • Tárgykód (ea, gy): mertek1v0_m20ex, mertek1v0_m20gx
  • Ajánlott félév: 4
  • Státusz: kötelező
  • Specializáció: elemző
  • Kredit (ea+gy): 3 + 2
  • Számonkérés: kollokvium + gyak. jegy
  • Tárgykód (ea, gy): mertek1v0_m20ex, mertek1v0_m20gx
  • Ajánlott félév: 4
  • Státusz: köt. vál.
Óraszám
ea(+k) + gy(+k)		 Kredit
ea + gy 		Számonkérés Specializáció Tárgykód
ea/gy 		Ajánlott
félév 		Státusz
2 + 2 3 + 2 kollokvium +
gyak. jegy		 alk. mat. mertek1v0_m20ex
mertek1v0_m20gx		 4 kötelező
3 + 2 kollokvium +
gyak. jegy		 elemző mertek1v0_m20ex
mertek1v0_m20gx		 4 köt. vál.

Tantárgyfelelős

Erős Gyenge előfeltételek
Gyakorlat
Erős:
Analízis2E (analiz2x0_m17ea) vagy
Az analízis megalapozásaE (megala1x0_m17ea)
Előadás
Gyenge:
Analízis3E-m (analiz3m0_m17ea) vagy
Analízis3E-ae (analiz3v0_m20ea)
Gyenge:
a gyakorlat

Megjegyzések

  • Pótlási lehetőség: A félév végén, indokolt esetben egy javító zárthelyi dolgozat írására van lehetőség.

A tematikát kidolgozta:

A tantárgy célkitűzése

  • A hallgatók sajátítsák el az alábbi készségeket:
  • ellenőrizni tudja az egyértelmű kiterjeszthetőség feltételeit konkrét példákon;
  • tudja alkalmazni a konvergenciatételeket, Fubini tételét;
  • érti a nullmértékűség fogalmát, és e fogalom hatását differenciálhatóságra, integrálhatóságra.

Irodalom

  • Petruska György: Analízis II. ELTE Eötvös Kiadó, 1988.
  • Laczkovich Miklós, T. Sós Vera: Analízis II. Typotex, 2013. Online elérhető a Digitális Tankönyvtárban.
  • Komornik Vilmos: Valós analízis előadások II. Typotex, 2003.
  • Halász Gábor: Fourier integrál. ELTE, 2005.
  • E.H. Lieb, M. Loss: Analysis, 2nd ed. AMS, 2001.

Tematika

  • Felületek megadása. Felszín, normálvektor. Felszín szerinti és felületi integrálok, fluxus.
  • Divergencia és rotáció. Newton–Leibniz-, Gauss–Osztrogradszkij- és Stokes-tétel.
  • Halmazrendszerek, szigma-algebrák, Borel-halmazok. Mérhető terek. Mérték, előjeles mérték.
  • A mértékkiterjesztési tétel. Egyértelműség.
  • Lebesgue- és Lebesgue–Stieltjes-mértékek. Regularitás. Nem mérhető halmazok.
  • Mérték szerinti integrál. Mérhető függvények. Nemnegatív, valós, és komplex értékű függvények integrálja. Műveletek.
  • Függvénysorozatok integrálja. Konvergenciatételek: Beppo Levi és Lebesgue-tétel, Fatou-lemma. Majdnem mindenütt való konvergencia.
  • Riemann- és Lebesgue–Stieltjes-integrálok. Alsó és felső burkoló. Szorzatmértékek. Fubini-tétel (bizonyítás nélkül). Megszámlálható és tetszőleges számosságú mértéktér szorzata.
  • Előjeles és komplex mértékek, variációk, norma. Hahn- és Jordan-felbontás. Gyenge*-konvergencia Borel mértékekre.
  • Abszolút folytonos és szinguláris mértékek. Lebesgue-felbontás. Radon–Nikodym tétel.
  • Helyettesítéses integrálás. Előjeles és komplex mérték szerinti integrál.
  • Abszolút folytonos, szinguláris függvények, deriváltjaik. Cantor-függvény. Korlátos változású függvények.
  • Valós és komplex Lp-terek. Hölder-, Cauchy–Schwarz és Minkowski-egyenlőtlenség. Riesz–Fischer-tétel.

  • Opcionális:

  • Borel-mértékek differenciálása. Maximális operátor. Lebesgue-pont. Speciális esetek. Mérhető burok. Sűrűségi tétel.
  • Legendre- és trigonometrikus polinomok. Schauder-bázis. Az L2([a,b]) és ℓ2(N) közötti izomorfia.
  • Mértékben való konvergencia. Metrizálhatóság, teljesség. Viszonya az Lp-beli és pontonkénti konvergenciákhoz.
  • Konvolúció és Fourier-transzformált L1-re. Borel-mértékek Fourier-transzformáltja. Fourier–Stieltjes-transzformált.
↻