1-2. előadás: szeptember 8. A komplex számok bevezetése a+bi alakú formális kifejezésként, illetve rendezett párokkal. Valós és képzetes rész, egyértelműség. Összeadás, kivonás, szorzás. Minden nem nulla komplex számmal lehet osztani. Konjugált, abszolút érték, kapcsolatuk, tulajdonságaik. Nullosztómentesség. K1.3,1.6.
A sík és tér vektorai: összeadás és skalárral szorzás. A komplex számok ábrázolása a síkon pontokkal illetve vektorokkal. A komplex számok összeadása a vektorösszeadásnak felel meg. Komplex szám hossza, szöge és trigonometrikus alakja. Szorzásnál a szögek összeadódnak, a hosszak összeszorzódnak. A háromszög-egyenlőtlenség. Két pont távolsága. Az eltolás és a forgatva nyújtás kifejezése komplex számok segítségével, geometriai alkalmazások. K1.4.
3-4. előadás: szeptember 15. Komplex számok hatványozása. Gyökvonás komplex számból. A gyökök száma és elhelyezkedése. Az egységgyökök fogalma, száma, képlete. Nem nulla komplex szám rendje, mint a különböző hatványainak a száma. Képlet a hatvány rendjére, a rend leolvasása a trigonometrikus alakból. A primitív egységgyök fogalma és felismerése a trigonometrikus alakból. Egy szám akkor és csak akkor primitív n-edik egységgyök, ha hatványai épp az összes n-edik egységgyökök. Alkalmazás: az Euler-függvény multiplikatív. A primitív egységgyökök összege, Möbius-megfordítás. K1.5.
5-6. előadás: szeptember 22. Az n magas (komplex) oszlopvektorok "tere", összeadás, skalárral szorzás. A mátrix általános fogalma, műveletek: összeadás, szorzás, skalárral szorzás, transzponált, műveleti tulajdonságok. Mátrix és vektor szorzata. Motiváció: geometriai transzformációk leírása mátrixokkal. F2.1.
Asszociativitás, kommutativitás, nullelem, egységelem, ellentett, inverz, alaptulajdonságok. Csoport, gyűrű, test, példák. Mátrixgyűrű test fölött. Hatványozás, azonosságok, gyűrűelem egész számszorosa. Nullosztó, minden test nullosztómentes. Művelettartó leképezés, lineáris leképezés.K2.2.
Gyakorlaton: Lineáris egyenletrendszer megoldása Gauss-eliminációval. Ha egyértelmű a megoldás, akkor az egyenletek száma legalább annyi, mint az ismeretlenek száma. Következmény: homogén egyenletrendszernek van nemtriviális megoldása, ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen. Lineáris egyenletrendszer mátrixos alakja. F3.1.
7-8. előadás: szeptember 29. Gyűrű additív és multiplikatív csoportja. Gyűrűhomomorfizmus és izomorfizmus. A Zn gyűrű definíciója, ez pontosan akkor nullosztómentes ha test, és ez akkor igaz, ha n prímszám. Véges nullosztómentes gyűrű ferdetest (K5.3.5). Ha egy gyűrűben minden elem p-szerese nulla, akkor tagonként lehet p-edik hatványra emelni (p prím). Következmény: a kis Fermat-tétel. K1.1,2.2,3.3.
Permutáció, inverziók, előjel. Az előjelek szorzástétele. A páros permutációk száma, a szimmetrikus és az alternáló csoport. Ekivalenciareláció és osztályai (K4.4.9). Ciklusfelbontás, az előjel és a rend leolvasása. K4.2.
9-10. előadás: október 6. Az előjeles mérték fogalma, egyértelműség az egyetlen lehetséges képlet. A determináns definíciója, alaptulajdonságai, kiszámítása Gauss-eliminációval. Következmény: a paralelogramma területe, a paralelepipedon térfogata. A transzponált mátrix determinánsa. Következmény: az oszlopokra teljesülő tulajdonságok a sorokra is érvényesek. A determinánsok szorzástétele. F1.1,1.2,1.3,9.8.
Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Egy mátrix akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Következmény: négyzetes mátrixokra MN=E akkor és csak akkor, ha NM=E. F1.4,1.5,2.2.
11-12. előadás: október 13. A Cramer-szabály és megfordítása. Vandermonde-determináns (bizonyítás gyakorlaton). Az inverz mátrix kiszámítása Gauss-eliminációval. A Laplace-féle kifejtés. A Cauchy-Binet formulák (NB). F1.4,1.5,2.2.
Oszlopvektorok lineáris függetlensége, összefüggősége, ennek eldöntése lineáris egyenletrendszer megoldásával. A determináns eltűnésének jellemzése. Vektorrendszer rangja. Mátrix sor-, oszlop- és determinánsrangja, ezek egyenlősége. A rang kiszámítása Gauss-elimináció segítségével. Összeg (NB) és szorzat rangja. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának, és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével. F3.2-3.5.
Első évfolyamzárthelyi az 1-12. előadások anyagából: október 16, 16:00, Északi tömb 0.81.
13-14. előadás: október 20. Egységelemes, kommutatív gyűrű fölötti polinomgyűrű. Polinomok egyenlősége, együtthatói, konstans tagja, foka, főegyütthatója, normált polinom, a nullapolinom. Polinomok összege, különbsége, szorzata, a szorzat együtthatói. Az összeg és a szorzat foka, nullosztómentesség. A polinomok sorozatos bevezetése. K2.1,2.3.
Behelyettesítés polinomba. Gyök, a gyöktényező kiemelhetősége. A Horner elrendezés, és szerepe a gyöktényező kiemelésénél (gyakorlaton). A különböző gyökökhöz tartozó gyöktényezők nullosztómentes gyűrű fölött egyszerre is kiemelhetők. Nullosztómentes gyűrű fölött a gyökök száma legfeljebb a polinom foka. A polinomok azonossági tétele, ez érvényes végtelen, nullosztómentes gyűrű fölött, de véges gyűrű fölött nem.
Az algebra alaptétele (NB). A gyöktényezős alak. A gyöktényezős alakban a gyökök száma a polinom foka, a szereplő konstans a főegyüttható, és a polinom minden gyöke szerepel a felsoroltak között. A k-szoros gyök fogalma. Az algebra alaptételének következménye: a polinom foka a gyökök multiplicitásainak összege. Az xn-1 polinom gyöktényezős alakja (gyakorlaton). K2.4,2.5.
15-16. előadás: november 3. A Lagrange- és a Newton-interpoláció. A gyökök és együtthatók közötti összefüggések (részben gyakorlaton). A többhatározatlanú polinom rekurzív definíciója. Fok, homogén polinom, lexikografikus rendezés. A szimmetrikus polinomok alaptétele, egyértelműség. Hatványösszegek, Newton és Waring (NB) formulái. K2.6,2.7.
17-18. előadás: november 10. Számelméleti alapfogalmak általános gyűrűben: oszthatóság, asszociált, egység, irreducibilis és prím elem, kitüntetett közös osztó és többszörös. Alaptételes gyűrű, kanonikus alak. A kitüntetett közös osztó kiemelési tulajdonsága, az alaptétel egyértelműségi állítása.
A polinomgyűrű egységei. Maradékos osztás polinomok között: létezés és egyértelműség. Az eljárás elvégezhető, ha az osztó főegyütthatója egység. Oszthatóság bővebb testben. Eulideszi algoritmus, a kitüntetett közös osztó felírása lineáris kombinációként. Kitüntetett közös osztó és közös gyökök. Test fölötti polinomgyűrű alaptételes. K3.1,3.2.
Az irreducibilitás jellemzése test fölötti polinomokra. Összefüggés gyök létezése és az irreducibilitás között test fölötti első, másod-, harmad- és magasabb fokú polinomok esetében. A racionális gyökteszt. K3.3
19-20. előadás: november 17. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám és a konjugáltja ugyanannyiszoros gyöke. Következmény: páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. Az irreducibilis polinomok C fölött pontosan az elsőfokúak. Valós fölött egy polinom akkor és csak akkor irreducibilis, ha elsőfokú, vagy ha másodfokú, de nincs valós gyöke. A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: racionális fölött akárhányad fokú irreducibilis polinom létezik. K3.3,3.5.
Az egész együtthatós polinomok számelmélete. Primitív polinom, két Gauss-lemma, a Z[x] irreducibiliseinek leírása. Általánosítás: ha R alaptételes, akkor R[x] is az. Következmény: Z[x1,...,xn] és T[x1,...,xn] alaptételes, ahol T test. K3.4.
21-22. előadás: november 24. A többszörös gyökök és a formális derivált kapcsolata tetszőleges test fölött. K3.6.
A körosztási polinom definíciója és rekurzív kiszámítása. Ez a polinom egész együtthatós és irreducibilis. K3.9. Alkalmazás: Dirichlet tételének nk+1 esete.
23-24. előadás: december 1. A rezultáns és a diszkrimináns. Valós együtthatók esetén összefüggés a diszkrimináns előjele és a valós gyökök száma között. A Cardano-képlet, kiértékelése, casus irreducibilis. A negyedfokú egyenletre van, a legalább ötödfokúra nincs gyökképlet (NB). K3.7,3.8.
Második évfolyamzárthelyi a 13-24. előadások anyagából: december 4, 16:00, Déli tömb 0-822.