1. előadás: február 14. Egy csoport hatása a részcsoportjainak halmazán konjugálással. Részcsoport normalizátora, ennek indexe a részcsoport konjugáltjainak a száma. A H normalizátora a legnagyobb részcsoport, amiben H normálosztó. Két részcsoport szorzatának rendje, ez mikor részcsoport (ismétlés tavaly gyakorlatról).
A p-Sylow-részcsoport fogalma, a Sylow-tételek (a permutációcsoportos bizonyítással). A p-Sylow részcsoportok száma, ez osztója az indexének. Egy p-Sylow részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha csak egy van belőle. Következmény: pq rendű csoport nem lehet egyszerű.
Csoport hatása normálosztón konjugálással, szemidirekt szorzat. A ciklikus csoportok automorfizmus-csoportja. Nemkommutatív pq rendű csoport konstrukciója alkalmas p és q esetén. A pq rendű csoportok száma (NB). Példák szemidirekt szorzatra, a p3 rendű csoportok (NB).
2. előadás: február 21. Permutációcsoport mint G-set, homomorfizmus, ekvivalencia, minden tranzitív permutációcsoport ekvivalens egy részcsoport szerinti mellékosztályokon való hatással. Többszörösen tranzitív és reguláris hatás. Primitivitás, ennek jellemzése (a stabilizátorok maximális részcsoportok). Prímfokú tranzitív csoport primitív (GY). Minden 2-tranzitív csoport primitív. Primitív csoport nemtriviális normálosztója tranzitív. Következmény: An egyszerű ha n legalább 5.
Normállánc, kompozíciólánc. Jordan-Hölder-tétel. Feloldható csoportok. Prímhatvány rendű csoport feloldható. A szimmetrikus csoportok kompozícióláncai (GY).
3. előadás: február 28. Egy csoport kommutátorrészcsoportja, ez a legnagyobb Abel-féle homomorf kép. A feloldhatóság jellemzése a kommutátorlánc segítségével. A kommutátorlánc főlánc, sőt elemei karakterisztikus részcsoportok (GY). Mátrixcsoportok egyszerűsége (NB). Mese a klasszifikációról.
Szabad csoport. Minden csoport előáll egy szabad csoport faktorcsoportjaként. Csoport megadása generátorokkal és definiáló relációkkal. Dyck tétele. A Nielsen-Schreier tétel (NB).
A testbővítés fogalma, foka, adott elemekkel generált bővítés. Minimálpolinom, algebrai és transzcendens elemek. A minimálpolinom jellemzése az irreducibilitás segítségével. Egyszerű testbővítés, ennek szerkezete, ha a generáló elem transzcendens. Az egyszerű testbővítések szerkezete algebrai elemmel való bővítés esetén. A bővítés foka egyenlő a minimálpolinom fokával. Az egyszerű testbővítés, mint faktorgyűrű, egyszerű testbővítés konstrukciója.
Egymás utáni bővítések fokainak szorzástétele. Elem foka osztója a bővítés fokának.
4. előadás: március 7. Minden véges bővítés algebrai. Összeg és szorzat fokának becslése. Az algebrai elemek résztestet alkotnak, az algebrai számok teste, ez algebrailag zárt.
A felbontási test fogalma. Normális bővítés, polinom felbontási teste normális. Izomorfizmusok kiterjesztése, a felbontási test egyértelmű. Az algebrai lezárt létezése (NB) és egyértelműsége (NB).
A tökéletes test fogalma, minden nulla karakterisztikájú test tökéletes. Tökéletes test véges bővítése egyszerű.
Relatív automorfizmus, a Galois-csoport fogalma. A Galois-elmélet főtétele.
Első évfolyamzárthelyi az 1-3. előadások anyagából: március 18. (a gyakorlaton).
5. előadás: március 21. Konjugáltság, a konjugáltak a minimálpolinom gyökei. Konjugált résztestek és konjugált részcsoportok kapcsolata, normális közbülső test Galois-csoportja mint faktorcsoport. Véges p-csoportban minden maximális részcsoport normálosztó. Alkalmazás: az algebra alaptételének bizonyítása.
Geometriai szerkeszthetőség. Az alapadatok által generált test. A szerkesztési lépések és a másodfokú bővítések kapcsolata. Komplex szám szerkeszthetősége. A szerkeszthető számok jellemzése: minimálpolinomjuk felbontási testének foka az alaptest felett 2-hatvány. Konkrét szerkesztési feladatok megoldhatatlansága: kockakettőzés, szögharmadolás, körnégyszögesítés. A körosztási test foka és Galois-csoportja. Szabályos sokszögek szerkeszthetőségének jellemzése.
Nulla karakterisztikájú test gyökökkel elérhető bővítése, a gyökkifejezés fogalma. Az xp-a polinom felbontási teste; ha az alaptest tartalmazza a p-edik egységgyököket, akkor ez a bővítés első vagy p-edfokú. Ha egy szám tágabb értelemben vett gyökkifejezés, akkor a minimálpolinomjának a Galois-csoportja feloldható.
6. előadás: március 28. Ha az alaptest tartalmazza a p-edik egységgyököket, akkor minden p fokú bővítés egy p-edik gyök hozzávételével kapható; Lagrange-rezolvens (Gy). Minden egységgyök gyökkifejezés. A gyökökkel megoldható polinomok jellemzése a Galois-csoport feloldhatóságával. Az x5-4x+2 polinom Galois-csoportja S5 (Gy), és így nem oldható meg gyökjelekkel. Az általános n-edfokú egyenlet Galois-csoportja Sn (NB). Következmény: a legalább ötödfokú egyenletre nincs általános megoldóképlet. A Casus irreducibilis tétele.
Véges testek elemszáma, létezése, egyértelműsége. Minden véges test tökéletes. Véges test véges bővítése mindig normális, a Galois-csoport ciklikus, a Galois-csoport generátoreleme, a közbülső testek száma és foka. Wedderburn tételének bizonyítása (minden véges ferdetest kommutatív). A kvadratikus reciprocitási tétel bizonyítása Gauss-ciklusokkal. A BCH hibajavító kód ötlete.
Egységelemes gyűrű Jacobson-radikálja, mint az egyszerű R-modulusok annullátorainak metszete. A Jacobson-radikál az R maximális balideáljainak metszete, és azon x elemek halmaza, melyekre 1-rx balinvertálható minden r gyűrűelemre. Következmény: a radikál minden nilpotens balideált tartalmaz. Az 1-rx jobbinvertálható is, ezért a radikál független attól, hogy balról vagy jobbról definiáljuk.
8. előadás: április 11. Részben rendezett halmaz, legkisebb felső korlát, legnagyobb alsó korlát, háló, teljes háló. A hálók megadása a műveletekre vonatkozó axiómarendszerrel, a két definíció ekvivalenciája. Partícióháló, komplementum.
Általános algebrai struktúrák, részalgebra, homomorfizmus, kongruencia. A kongruenciaháló a partícióháló teljes részhálója. Direkt szorzat, szabad algebra, Birkhoff tétele. Azonosságokkal definiálható osztály, Birkhoff-féle jellemzés zártsági tulajdonsággal (NB), varietás.
A két tényezős direkt szorzat jellemzése kongruenciákkal. Kongruenciafelcserélhető algebra és varietás, Malcev tétele (csak az egyik irány bizonyítva). Szubdirekt szorzat, szubdirekt irreducibilis algebrák és jellemzésük kongruenciahálójukkal. Birkhoff tétele a szubdirekt felbontásról. Kongruenciafelcserélhető varietásban véges sok egyszerű algebra szubdirekt szorzata izomorf néhány tényező direkt szorzatával.
Disztributív háló, kongruenciák és ideálok. Minden szubdirekt irreducibilis disztributív háló kételemű (Gyak). Következmény: Stone-tétele. A három elemmel generált szabad disztributív háló szerkezete, jellemzés tiltott részhálóval (NB). Minden háló kongruenciahálója disztributív.
9. előadás: május 2. Boole-algebra, szubdirekt irreducibilis Boole-algebrák (NB), Stone-tétele. Boole-gyűrűk és Boole-algebrák kapcsolata, a Boole-algebrák varietása kongruencia-felcserélhető. A véges Boole-algebrák szerkezete, a szabad Boole-algebrák elemszáma.
Moduláris háló definíciója, kongruenciafelcserélhető algebra kongruenciahálója moduláris. A három elemmel generált szabad moduláris háló szerkezete, a modularitás jellemzése tiltott részhálókkal (NB). Intervallumok izomorfiája moduláris hálókban, dimenziófüggvény, Jordan-Dedekind tétel.
Az Artin-gyűrű fogalma, minden (bal) Artin-gyűrű bal-Noether (NB). Artin-gyűrű radikálja nilpotens, és így a gyűrű legnagyobb nilpotens (bal)ideálja.
Minden gyűrű radikál szerinti faktora sűrű mátrixgyűrűk szubdirekt szorzata. Wedderburn-Artin-tétel: féligegyszerű gyűrű felbontása teljes mátrixgyűrűk direkt összegére. A Jacobson-radikál és a Wedderburn-Artin tétel kiterjesztése test feletti algebrákra. A csoportalgebra, invariáns skaláris szorzat, Maschke tétele: a csoportalgebra féligegyszerű.
10. előadás: május 9. A csoportreprezentáció fogalma, foka és karaktere. Kapcsolat a csoportalgebra feletti modulusok és a reprezentációk között. Ekvivalens reprezentációk. Egyszerű modulusok és irreducibilis reprezentációk. A csoportalgebra centruma, osztályfüggvények. Az irreducibilis reprezentációk száma a csoport konjugált elemosztályainak a száma, a fokok négyzetösszege a csoport rendje. Abel-csoport reprezentációi.
A karaktertábla, elemei algebrai egészek. A reguláris reprezentáció, karaktere, felbontása irreducibilisek összegére. Az ortogonális idempotensek együtthatói a csoportalgebrában. I. és II. ortogonalitási reláció. A karakterek ortonormált bázist alkotnak az osztályfüggvények között. Következmény: ha a karakterek egyenlők, akkor a reprezentációk ekvivalensek.
Karakter magja és centruma. Irreducibilis karakter foka osztója a csoport rendjének. Burnside tétele: véges nemkommutatív egyszerű csoportban nem lehet prímhatványrendű konjugált elemosztály. Következmény: ha egy csoport rendje legfeljebb két prímmel osztható, akkor a csoport feloldható.
Második évfolyamzárthelyi az 4-9. előadások anyagából: május 16.