1. előadás: február 9. A vektortéraxiómák, elemi tulajdonságok, példák. Az altér fogalma és jellemzése a műveletekre való zártság segítségével. A generált altér mint adott elemeket tartalmazó legszűkebb altér; generátorrendszer. A generált altér elemeinek jellemzése: lineáris kombináció.
Véges és végtelen vektorrendszer lineáris függetlensége. A lineáris függés és függetlenség kapcsolata. A függés tranzitivitása, a kicserélési tétel. Független rendszer elemszáma legfeljebb akkora lehet, mint egy generátorrendszeré.
2. előadás: február 16. A bázis fogalma, elemszámának egyértelműsége, dimenzió. Vektor koordinátái adott bázisban. A szokásos bázis oszlopvektorok, mátrixok, polinomok között. Bázis jellemzése mint minimális generátorrendszer, illetve maximális független rendszer. Minden független rendszer kiegészíthető bázissá, véges bázis létezése végesen generált vektortérben. Valódi altér dimenziója.
Alterek összege, mint az unió által generált altér. Az összeg elemeinek előállítása mikor egyértelmű, direkt összeg, direkt kiegészítő altér létezése és dimenziója. Alterek összegének dimenziója (gyakorlaton). Direkt összeg több, mint két tényező esetén.
3. előadás: február 23. A lineáris leképezés, mint vektorterek közötti homomorfizmus, példák. A vektorhoz a koordinátáiból képzett vektort rendelő leképezés lineáris bijekció. A lineáris leképezések előírhatósági tétele, lineáris leképezés mátrixa adott bázispárban. Vektor képének koordinátái.
Műveletek lineáris leképezések között. Az algebra fogalma, a lineáris leképezések vektortere, a lineáris transzformációk algebrája. Összefüggés a mátrixműveletek és a lineáris leképezések műveletei között, ennek vektortér- és algebra-izomorfizmusként való megfogalmazása. A bázistranszformáció képlete. Lineáris leképezés inverze, ennek mátrixa.
Képtér, magtér, az injektivitás és a szürjektivitás jellemzése. A dimenziótétel. Két vektortér akkor és csak akkor izomorf, ha dimenziójuk megegyezik. A lineáris leképezések terének dimenziója.
4. előadás: március 2. Lineáris transzformációk. Véges dimenziós téren az invertálható transzformációk jellemzése (van bal-, illetve jobbinverze, nem bal-, illetve jobboldali nullosztó, magja nulla, képe az egész tér, bijektív). Véges dimenziós téren, ha AB az identitás, akkor BA is az.
Lineáris transzformáció determinánsa: hányszorosára növeli a térfogatot. Következmény: a determinánsok szorzástétele. Transzformáció determinánsa megegyezik a mátrixának a determinánsával. Egy transzformáció akkor és csak akkor invertálható, ha determinánsa nem nulla. Az invertálható transzformációkra bizonyított jellemzés átvitele mátrixokra.
Egy lineáris transzformáció, illetve négyzetes mátrix diagonalizálhatósága, sajátértékei, sajátvektorai, sajátalterei, karakterisztikus polinomja, ennek gyökei a sajátértékek. A sajátalterek összege direkt összeg, különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok függetlenek. Következmény: ha annyi különböző sajátérték van, mint a tér dimenziója, akkor a transzformáció diagonalizálható.
5. előadás: március 9. Egységelemes algebra egy elemének polinomja. Algebrai és transzcendens elemek. Egy b elem minimálpolinomja, mint azon polinomokból álló ideál normált generátoreleme, melyeknek b gyöke. A minimálpolinom egyértelmű, ez a legalacsonyabb fokú polinom, aminek b gyöke, egy polinomnak b akkor és csak akkor gyöke, ha ez a polinom a minimálpolinomnak többszöröse. Felső becslés a minimálpolinom fokára. Lineáris transzformáció minimálpolinomjának foka legfeljebb a dimenzió négyzete. Bővebb test fölött egy mátrix minimálpolinomja nem változik. A sajátértékek gyökei a minimálpolinomnak.
A Cayley-Hamilton-tétel: minden mátrix illetve transzformáció gyöke a karakterisztikus polinomjának. Következmények: a minimálpolinom osztója a karakterisztikus polinomnak, és így a foka legfeljebb a dimenzió; a minimálpolinom gyökei pontosan a sajátértékek.
Az invariáns altér fogalma, a tér direkt összegre való felbontása a minimálpolinom segítségével. Egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható, ha a minimálpolinomja lineáris tényezőkre bomlik, és minden gyöke egyszeres.
6. előadás: március 16. Egy transzformáció akkor és csak akkor nilpotens, ha mátrixa alkalmas bázisban szigorú felső háromszögmátrix. Hasonló mátrixok, minden komplex elemű mátrix hasonló egy felső háronszögmátrixhoz. A Cayley-Hamilton-tétel bizonyítása komplex felett. A Jordan-normálalak (NB), egyértelműség (NB). A Jordan-normálalak hatványozása.
Vektorrendszer rangja mint az általa generált altér dimenziója. A rang a maximális független részrendszerek elemszáma. Lineáris leképezés rangja, mint a képtér dimenziója. Lineáris leképezés rangja ugyanaz, mint a mátrixának oszloprangja. A rang legfeljebb akkora, mint az értelmezési tartomány dimenziója. Szorzat rangja legfeljebb akkora, mint bármelyik tényező rangja. Összeg rangja legfeljebb akkora, mint a rangok összege.
A duális tér és a duális bázis. Természetes izomorfizmus a duális tér duálisával. A diád fogalma. Minden mátrix felbontható oszloprangnyi számú diád összegére, de kevesebbre nem. Következmény: a sorrang és az oszloprang megegyezik.
Első évfolyamzárthelyi az 1-6. előadások anyagából: március 23.
7. előadás: március 30. Gyűrű additív és multiplikatív csoportja, a lineáris csoportok és rendjeik. A szimmetrikus és az alternáló csoport. A Klein-csoport, a diédercsoport és a kvaterniócsoport. Geometriai transzformációk csoportjai.
Hatványozás, elemrend, tulajdonságok. Permutáció rendje. A kételemű csoportok szerkezete. Homomorfizmus, izomorfizmus, ciklikus csoportok, ezek izomorfia-típusai.
8. előadás: április 13. Részcsoport, jellemzése zártsággal és komplexusszorzással. Lagrange tétele, mellékosztály, index, a baloldali és a jobboldali mellékosztályok száma megegyezik. Egy elemmel generált részcsoport. Elem rendje osztója a csoport rendjének, következmény: Euler-Fermat-tétel. Egy csoportnak akkor és csak akkor van pontosan két részcsoportja, ha prímrendű. Prímrendű csoport ciklikus.
Ciklikus csoport részcsoportja is ciklikus. A ciklikus csoportok elemrendjeinek és részcsoportjainak leírása. Véges test multiplikatív csoportja ciklikus. Két négyelemű csoport van izomorfia erejéig: a ciklikus és a Klein-csoport.
A generált részcsoport fogalma és létezése. A generált részcsoport elemeinek leírása az általános, illetve a kommutatív esetben. Minden véges szimmetrikus csoport két elemmel generálható (gyakorlaton).
9. előadás: április 20. Permutációcsoport, csoport hatása halmazon. Fok, pálya, stabilizátor, összefüggésük, tranzitivitás. A pályák partíciót alkotnak. A kocka szimmetriáinak a száma. Cayley tétele. Leszámlálás Burnside-lemma segítségével.
Homomorfizmus képe és magja, normálosztó. Faktorcsoport, természetes homomorfizmus.
10. előadás: április 27. Homomorfizmus-tétel. Kettő indexű részcsoport normálosztó. Elem rendje a faktorcsoportban. A konjugálás, mint automorfizmus. Csoport hatása önmagán konjugálással, konjugáltosztályok. Egy részcsoport akkor és csak akkor normálosztó, ha konjugáltosztályok egyesítése. A centrum. Prímnégyzet rendű csoport kommutatív.
A direkt szorzat fogalma és belső jellemzése véges sok tényező esetén. A kocka szimmetriacsoportja S4 és Z2 direkt szorzata. Izomorfia erejéig kétféle prímnégyzet rendű csoport van.
11. előadás: május 4. Elem rendje a direkt szorzatban, a direkt szorzat mikor ciklikus. Primitív gyök mikor létezik mod m (azt nem kell tudni bizonyítani, hogy páratlan prímhatványra van primitív gyök). A véges Abel-csoportok alaptétele, egyértelműség (bizonyítás nélkül).
A kis elemszámú csoportok leírása (hatod- és nyolcadrendű csoportok, 2p és p3 rendű csoportok, NB).
A faktorcsoport részcsoportjai és normálosztói, az izomorfizmus-tételek.
Második évfolyamzárthelyi a 7-11. előadások anyagából: május 11.