1. előadás: szeptember 15. Bilineáris függvény és mátrixa, a kapcsolat bijektív. A bázistranszformáció képlete. Szimmetrikus bilineáris függvény. Kvadratikus alak, valós felett minden kvadratikus alak egyértelműen kapható egy szimmetrikus bilineáris függvényből. Egy bilineáris függvény akkor és csak akkor diagonalizálható, ha szimmetrikus. Diagonalizálás Gauss-eliminációval (NB). Ortogonalitás, a Gram-Schmidt ortogonalizáció. Sylvester tehetetlenségi tétele (biz. a második előadáson). A kvadratikus alak karaktere. A definitség és a főminorok (NB).
2. előadás: szeptember 22. Komplex bilineáris függvény, itt a kvadratikus alak egyértelműen meghatározza a bilineáris függvényt. A kvadratikus alak akkor és csak akkor valós, ha a függvény Hermite-féle. Ortogonalizáció, tehetetlenségi tétel mint valósban.
Valós és komplex Euklideszi tér, ortonormált bázis, a skaláris szorzat képlete. Ortogonalizáció, direkt kiegészítő altér. Merőlegesség, hossz, szög, a Cauchy-Bunyakovszkij-Schwartz egyenlőtlenség (a komplex eset bizonyítása gyakorlaton), a háromszög-egyenlőtlenség. Vektor koordinátáinak, transzformáció mátrixának felírása ortonormált bázisban a skaláris szorzat segítségével. Az adjungált transzformáció, jellemzése skaláris szorzattal.
Ha a W altér A-invariáns, akkor az ortogonális kiegészítő altere A*-invariáns. Komplex felett minden transzformáció alkalmas ortonormált bázisban felső háromszögmátrix.
3. előadás: szeptember 29. Komplex felett egy transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha normális, azaz felcserélhető az adjungáltjával. Normális transzformáció sajátalterei páronként merőlegesek, ezek egyben az adjungált transzformáció sajátalterei is, konjugált sajátértékekkel. Önadjungált, szimmetrikus, unitér és ortogonális transzformációk. Unitér (ortogonális) transzformáció sajátértékei egy abszolút értékűek, önadjungált (szimmetrikus) transzformáció sajátértékei valósak. Egy transzformáció akkor és csak akkor unitér (ortogonális), ha skalárszorzat-tartó, illetve ha távolságtartó, illetve ha ortonormált bázist ortonormált bázisba visz.
Bilineáris függvényhez tartozó lineáris leképezés. Az A transzformáció akkor és csak akkor önadjungált (szimmetrikus), ha a hozzá tartozó bilineáris függvény Hermite-féle (szimmetrikus). Ha a bázistranszformációt ortonormált bázisok között végezzük, akkor a mátrixa unitér (ortogonális). Következmények: egy mátrix akkor és csak akkor diagonalizálható unitér transzformációval, ha normális; minden Hermitikus/szimmetrikus bilineáris függvény alkalmas ortonormált bázisban diagonalizálható.
Főtengelytétel: egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor diagonalizálható ortonormált bázisban, ha szimmetrikus. Egy valós feletti transzformáció akkor és csak akkor ortogonális, ha alkalmas ortonormált bázisban a mátrixa forgatásokat tartalmazó kétszer kettes, illetve +1-et vagy -1-et tartalmazó egyszer egyes diagonális blokkokra bomlik. Ha Q kvadratikus alak, akkor a Q(v)=1 egyenletű alakzat origótól vett távolsága és átmérője.
4. előadás: október 6. Részgyűrű, homomorfizmus, ideál, faktorgyűrű, homomorfizmus-tétel. A komplex számok mint faktorgyűrű. Direkt szorzat. Egységelemes bővítés létezése (GY). Bal- és jobbideál, a generált ideál képlete kommutatív, egységelemes gyűrűben. Egyszerű gyűrűk, minden ferdetest feletti teljes mátrixgyűrű egyszerű (GY). Jobb és bal oldali annullátor. A balideálmentes gyűrűk szerkezete. Következmény: egységelemes kommutatív gyűrű maximális ideálja szerinti faktor test. Zorn-lemma (NB). Krull tétele: egységelemes gyűrű minden valódi ideálja benne van egy maximális ideálban.
5. előadás: október 13. A maximum-feltétel ekvivalens alakjai, kapcsolat a véges generáltsággal. Noether-gyűrű, Hilbert bázis-tétele. Euklideszi gyűrű, ebben minden ideál főideál. Egy egységelemes integritási tartomány akkor és csak akkor alaptételes, ha a főideálokra érvényes a maximum-feltétel és minden irreducibilis elem prím. Következmény: főideálgyűrű, euklideszi gyűrű alaptételes. Példa nem euklideszi főideálgyűrűre (NB); a Z[x] alaptételes, de nem főideálgyűrű. Példa nem alaptételes gyűrűre. Az Euler-egészek gyűrűje euklideszi.
6. előadás: október 20. Az Euler-prímek leírása. A Fermat-tétel a 3 kitevőre.
Nullosztómentes gyűrű elemeinek additív rendje, karakterisztika. Prímtest, szerkezete.
Első évfolyamzárthelyi az 1-6. előadások anyagából: október 22.
7. előadás: november 3. A hányadostest konstrukciója és egyértelműsége. Rendezett integritási tartomány, pozitivitástartomány és jellemzése, az elrendezhetőség feltétele, Z, Q, R, C rendezései. A kvaterniótest. Frobenius tétele a valós test feletti véges dimenziós, nullosztómentes algebrákról (NB).
A modulus fogalma, unitér modulus, példák. Részmodulus, a generált részmodulus elemeinek képlete, ciklikus modulus. Homomorfizmus, faktormodulus, egyszerű modulus. Direkt szorzat és belső jellemzése. A szabad modulusok leírása.
A bázis fogalma, a bázis szabad generátorrendszer. Gyenge függetlenség, gyenge bázis, kapcsolata ciklikus részmodulusok direkt összegére való felbonthatósággal.
8. előadás: november 10. A rend fogalma általában, és főideálgyűrű fölött. Nulla rendű ciklikus modulus szabad. Nem nulla rendű ciklikus modulus, mint az alapgyűrű faktormodulusa. Főideálgyűrű fölötti torziómodulus felbontása p-komponensek direkt összegére. Speciálisan a nem nulla rendű ciklikus modulusok prímhatványrendű ciklikusok direkt összegei.
Ha a modulusban megadunk egy bázist, akkor egy részmodulus egy generátorrendszere egy mátrixszal adható meg. A mátrix elemi átalakításainak kapcsolata a bázis illetve a generátorrendszer megváltoztatásával. Euklideszi gyűrű felett minden mátrix elemi átalakításokkal normálalakra hozható. Következmény: euklideszi gyűrű feletti végesen generált modulus ciklikusok direkt összege, és minden részmodulusa is végesen generált. Kapcsolat a fellépő ciklikus modulusok generátorelemeinek rendjei, és a mátrix normálalakjának főátlójában szereplő elemek között. A főátló utolsó eleme a modulus exponense.
9. előadás: november 17. A felbontás egyértelműségének kérdése. Torzió-részmodulus, a szerinte vett faktor torziómentes. A nulla rendű elemek által generált ciklikus tényezők száma egyértelmű. Az M[p] részmodulus, ez vektortér az R/(p) test felett, dimenziója a p-hatványrendű tényezők száma. Az M[p] szerinti faktor felbontásában szereplő tényezők rendjei, az egyértelműség bizonyítása.
A Jordan-normálalakról szóló tétel bizonyítása modulusok segítségével.
10. előadás: november 24. A karakterisztikus mátrix szerepe, normálalakjában az utolsó elem a minimálpolinom. Következmény: a Cayley-Hamilton tétel. A blokkok méreteinek leolvasása a normálalakról, determinánsosztók (gyakorlaton).
Kommutatív R gyűrű fölött Hom(A,B) is R-modulus. Kommutatív diagramok. Egzakt sorozatok. Hom(M,-) kovariáns, Hom(-,N) kontravariáns funktor; mindkettő balegzakt. Projektív és injektív modulusok. 5-ös lemma (gyakorlaton).
11. előadás: december 1. Modulus endomorfizmusgyűrűje. Idempotens endomorfizmusok kapcsolata a direkt felbontással. Egy modulus akkor és csak akkor projektív, ha szabad modulus direkt összeadandója. A projektív és injektív Abel-csoportok leírása (NB), az osztható Abel-csoportok szerkezete (NB).
Kommutatív gyűrű feletti modulusok bihomomorfizmusa és tenzorszorzata, ennek univerzális tulajdonsága. Az alapgyűrűvel vett tenzorszorzat maga a modulus (gyakorlaton). Direkt összeg és tenzorszorzat (gyakorlaton). A tenzorszorzat szerkezete vektorterek esetében. Homomorfizmusok tenzorszorzata, mátrixok Kronecker-szorzata (gyakorlaton).
12. előadás: december 8. Teljesen reducibilis (=féligegyszerű) modulusok: minden részmodulus és faktormodulus is egyszerű, a felbontás egyértelműsége. Féligegyszerű gyűrűk ekvivalens jellemzései: minden modulus teljesen reducibilis; minden modulus projektív; minden modulus injektív; a Hom funktor egzakt; minden részmodulus direkt összeadandó. Schur-lemma. Sűrűségi tétel. Minden féligegyszerű gyűrű véges sok, ferdetest fölötti teljes mátrixgyűrű direkt összege (a megfordítás gyakorlaton).
Második évfolyamzárthelyi a 7-12. előadások anyagából: december 10.