Algebra és számelmélet intenzív, 2022 ősz

Ezen az oldalon az Algebra és számelmélet intenzív kurzus előadás-tematikái, valamint a gyakorlatok feladatsorai szerepelnek. A kurzus normál változatához itt találhatók az előadás-diák és a gyakorlat-feladatsorok, valamint három, ingyen és legálisan letölthető tankönyv. Az intenzív kurzus anyagát is jórészt lefedik, esetleges szintváltáskor is hasznosak.

    1. Oszthatóság alaptulajdonságai, maradékos osztás tétele (de teljes maradékrendszer fogalma még nem). Relációk, ekvivalenciareláció. Kongruencia és alaptulajdonságai (de modulushoz relatív prímmel leosztás még nem). A legkisebb pozitív egész k, amelyre ka osztható m-mel, osztja m-et. Prímszámok. Végtelen sokan vannak, mert minden pozitív egész szám prímek (esetleg üres) szorzata, minden 1-nél nagyobb számnak van prím osztója. Minden prímszám rendelkezik a prímtulajdonsággal; 0 és 1 is; de az összetett számok nem. A számelmélet alaptétele, kanonikus alak, v_p(n) jelölés, ennek alaptulajdonságai, ennek alapján legnagyobb közös osztó, kitüntetett közös osztó. A v_p(n!) képlete.
    2. Ha k-adik gyök n racionális, akkor egész. Kitüntetett közös többszörös, (a,b)[a,b]=ab. Relatív prímség fogalma. Ha a|bc, (a,b)=1, akkor a|c. Kongruencia leosztása modulushoz relatív prímmel. Euklideszi algoritmus. A lnko kiemelési tulajdonsága, előáll lineáris kombinációként. Kétváltozós lineáris diofantikus egyenlet és egyváltozós lineáris kongruencia megoldhatósága, megoldáshalmaza.
    3. Szimultán kongruenciarendszer fogalma. Kínai maradéktétel. Teljes és redukált maradékrendszer fogalma. Egy fix redukált maradékkal szorozva bármely teljes/redukált maradékrendszer teljes/redukált maradékrendszer marad. Euler-féle fi-függvény. Képlet fi(p^k) értékére (p prímszám). Euler-Fermat-tétel, kis Fermat-tétel. Injektív, szürjektív, bijektív leképezés fogalma. Kétváltozós művelet fogalma. Legfeljebb egy neutrális elem lehet. Asszociatív művelet esetén egy elemnek legfeljebb egy inverze lehet. Csoport, kommutatív csoport (= Abel-csoport) fogalma. Additív, multiplikatív írásmód. Gyűrű, test fogalma. Gyűrűben 0a=a0=0. Egységelemes gyűrűben 0=1 akkor és csak akkor, ha ez az egyelemű gyűrű. Egy gyűrű nullosztómentes, ha legalább két eleme van, és ab=0 esetén a=0 vagy b=0. Minden test nullosztómentes. A mod m maradékok gyűrűje: Zm. Ekvivalensek: ez test, ez nullosztómentes, m prímszám. Ekkor új jelölés: Fp. Testben csak 1 és -1 négyzete 1. Véges test nemnulla elemeinek szorzata -1. Wilson tétele. Komplex számok. Testet alkotnak.
    4. Gyűrűben a(-b)=-ab=(-a)b és így (-a)(-b)=ab. A komplex számok (mint formális kifejezések, bevezetés rendezett párokkal is). Valós és képzetes rész, ezek egyértelműsége. Összeadás, ellentett, szorzás. Konjugált, abszolút érték, geometriai jelentésük, kapcsolatuk. Minden nemnulla komplex számnak van reciproka, nullosztómentesség. A műveletek tulajdonságai: a komplex számok testet alkotnak. Négyzetgyökvonás, a másodfokú egyenlet megoldása. A komplex számsík, komplex szám szöge (argumentuma) és trigonometrikus alakja. Összeadás mint vektorösszeadás. Szorzás trigonometrikus alakban. Adott nemnulla komplex számmal való szorzás geometriailag forgatva nyújtást jelent.
    5. A komplex konjugálás alaptulajdonságai. Ezek alapján új bizonyítás az abszolút érték multiplikatív tulajdonságára és algebrai bizonyítás a háromszög-egyenlőtlenségre. Komplex szám hatványozása, ennek alaptulajdonságai, Moivre-formula. Egységgyökök, trigonometrikus alakjuk, rend és alaptulajdonságai, primitív egységgyökök jellemzése és száma. Gyökvonás komplex számból, az n-edik gyökök meghatározása és geometriai elhelyezkedése. A hatvány rendjének képlete. Egyváltozós polinomok egységelemes kommutatív gyűrű felett. Polinomok egyenlősége, együtthatói, főegyütthatója, normált polinom. Összeadás, nullpolinom, kivonás, szorzás. Polinom foka, a fok változása a műveleteknél. A polinomok gyűrűje, nullosztómentesség. Behelyettesítés, (f+g)(c)=f(c)+g(c).
    6. (fg)(c)=f(c)g(c). Polinom értékének, gyök multiplicitásának meghatározása (iterált) Horner-elrendezéssel. A gyöktényező kiemelhetősége. Nullosztómentes gyűrű fölött egy nem azonosan nulla polinomnak, multiplicitással számolva, legfeljebb annyi gyöke lehet, amennyi a foka.
    7. A polinomfüggvény fogalma, a polinomok azonossági tétele. Végtelen nullosztómentes gyűrű fölött a polinomfüggvények és a polinomok kapcsolata kölcsönösen egyértelmű, de véges gyűrű fölött nem. Az algebra alaptétele (bizonyítás nélkül): a komplex számtest fölött minden nem konstans polinomnak van gyöke. Egy n-edfokú komplex együtthatós polinomnak multiplicitásokkal számolva pontosan n komplex gyöke van. A többszörös gyökök és a formális derivált kapcsolata. A racionális gyökteszt. A Lagrange- és a Newton-interpoláció.
      A többhatározatlanú polinom fogalma. A gyökök és együtthatók összefüggése.
      A lineáris egyenletrendszer fogalma és megoldása Gauss-eliminációval. Vezéregyesek. A megoldhatóság feltétele. Szabad és kötött változók. Ha kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen, akkor nem lehet egyértelmű a megoldás.
    8. Ha egy homogén lineáris egyenletrendszerben kevesebb egyenlet van, mint ismeretlen, akkor van nemtriviális megoldás.
      Gyűrű feletti mátrixok és műveleteik, ezek tulajdonságai. Négyzetes mátrixok gyűrűje. Egységmátrix, inverz mátrix. Lineáris egyenletrendszer átírása mátrixos alakba. Ha egy lineáris egyenletrendszerben ugyanannyi egyenlet van, mint ismeretlen, és az egyenletrendszer mátrixa invertálható, akkor egyetlen megoldás van.

    9. Lineáris kombináció, oszlopvektorok függetlensége, jellemzése lineáris egyenletrendszer megoldhatóságával. A függetlenség és a függés kapcsolata. Vektorrendszer és mátrix rangja, a sorrang és az oszloprang egyenlő. Szorzat rangjának becslése. Kétoldali inverze csak négyzetes mátrixnak lehet; mégpedig akkor és csak akkor van neki, ha teljes rangú. Ha négyzetes mátrixokra UV=I, akkor VU=I. A rang meghatározása és mátrixinvertálás Gauss-eliminációval. Lineáris egyenletrendszer megoldhatóságának és a megoldás egyértelműségének jellemzése a rang segítségével. Általános lineáris csoport. GL2(K) nem kommutatív.
      Permutációk szorzása (konvenció: a bal oldalra írt permutációt végezzük el először, mert elem képét úgy jelöljük, hogy a kitevőbe írjuk a permutációt). Szimmetrikus csoport. n! eleme van. S3 nem kommutatív.

    10. Transzpozíció, minden permutáció transzpozíciók szorzata. Inverziók, permutáció előjele. Kompozíció, inverz, a permutációk szorzástétele. Csere előjele, a páros permutációk száma. Diszjunkt ciklusokra bontás, az előjel leolvasása.
    11. Determináns mint előjeles térfogat. Alternáló multilineáris függvény szükségképpen antiszimmetrikus is. Az n darab n-dimenziós vektortól függő multilineáris, alternáló függvények pontosan a determináns konstansszorosai. Transzponált mátrix determinánsa.
    12. Egy oszlophoz egy másik oszlop skalárszorosát adva a determináns értéke nem változik. Mivel a transzponált mátrix determinánsa megegyezik az eredeti mátrix determinánsával, így az oszlopokra kimondott tulajdonságok sorokra is érvényesek. Háromszögmátrix determinánsa. A determináns kiszámítása Gauss-eliminációval. A determinánsok szorzástétele. Előjeles aldetermináns, a kifejtési tétel. A ferde kifejtési tétel, az inverz mátrix képlete. Egy mátrix pontosan akkor invertálható, ha determinánsa invertálható az alapgyűrűben. Test felett ez pontosan annyit jelent, hogy a determináns nem nulla. Determinánsrang. A Cramer-szabály. A Vandermonde-determináns.
      Többhatározatlanú polinom foka, homogén komponensei. Egységelemes integritási tartomány felett szorzatpolinom foka a fokok összege. A szimmetrikus polinom fogalma.

    13. Lexikografikus rendezés. A szimmetrikus polinomok alaptétele (egyértelműség is). Newton-Girard-formula és a hatványösszeg determináns alakja bizonyítás nélkül.
    14. Rezultáns és diszkrimináns.
    15. A harmadfokú egyenlet, Cardano képlete, ebben a köbgyökvonás helyes elvégzése, casus irreducibilis. Eljárás a negyedfokú egyenlet megoldására a harmadfokú rezolvens segítségével.
      Test fölött az irreducibilis polinomok azok a nem konstans polinomok, melyek nem bonthatók alacsonyabb fokúak szorzatára. Minden elsőfokú polinom irreducibilis; a másod- és harmadfokúak pontosan akkor irreducibilisek, ha nincs az alaptestben gyökük. Ha egy legalább másodfokú polinomnak van az alaptestben gyöke, akkor nem irreducibilis (de ha nincs gyöke, lehet reducibilis). Az irreducibilis polinomok a komplex számtest fölött az elsőfokúak. Egy valós együtthatós polinomnak minden komplex szám ugyanannyiszoros gyöke, mint a konjugáltja. Minden páratlan fokú valós együtthatós polinomnak van valós gyöke. A valós test fölötti irreducibilis polinomok leírása.
      Minden olyan polinommal lehet maradékosan osztani, amelynek a főegyütthatója egység. A maradékos osztás egyértelmű. Az euklideszi algoritmus test feletti egyváltozós polinomgyűrűben; minden irreducibilis polinom prím. A számelmélet alaptétele érvényes tetszőleges test fölötti egyváltozós polinomok gyűrűjében, az egész számok számelméletének mintájára.
      Nullosztómentes gyűrűben szabad egyszerűsíteni.
      Számelméleti fogalmak szokásos gyűrűben: oszthatóság, egység, asszociált, felbonthatatlan (más néven irreducibilis) és prím elemek. Minden prím irreducibilis. A megfordításra ellenpélda csak kimondva. Példák: Az egész számok gyűrűjének és test feletti egyváltozós polinomgyűrűnek az egységei, felbonthatatlan és prím elemei.

    16. Példa (immár bizonyítással) olyan egységelemes integritási tartományra, amelyben nem minden irreducibilis elem prím, az irreducibilis tényezőkre való felbontás nem egyértelmű (lényegében sem).
      Ha f és g egész együtthatós polinomok, akkor f|g ugyanazt jelenti Q és C fölött, de Z fölött nem. Az egész együtthatós polinomok számelmélete. Primitív polinom, Gauss-lemma, következmények. A Z[x] irreducibiliseinek leírása, az alaptétel bizonyítása.
      A Schönemann-Eisenstein kritérium. Következmény: a racionális számtest fölött akárhányadfokú irreducibilis polinom létezik.
      Test fölött f(x) pontosan akkor irreducibilis, ha f(ax+b) az (ahol a nem nulla).
    17. A körosztási polinom; rekurzív képlete, kiszámítása, ez egész együtthatós. Az Euler-féle fí-függvény és a Möbius-függvény összegzési függvénye. Explicit képlet a körosztási polinomra a Möbius-függvény felhasználásával. A körosztási polinom irreducibilis. Bauer Mihály tétele: az n-edik körosztási polinom bármely egész helyen felvett értékének bármely prímosztója vagy osztja n-et is, vagy 1-gyel kongruens mod n. Következmény: Dirichlet tételének speciális esete.
      Rend mod p, a d rendű elemek száma, speciálisan a mod p primitív gyökök száma (ez pozitív, tehát létezik primitív gyök mod p). Index, indextáblázat.

    18. Rend, primitív gyök definíciója összetett modulus esetén is. Mely modulusokra létezik primitív gyök? (bizonyítás nélkül). Prímmodulusú binom kongruencia megoldhatóságának feltétele, megoldásainak száma. Kvadratikus maradékok. A Legendre-szimbólum és alaptulajdonságai, Euler-lemma, Gauss-lemma, (-1/p), (2/p).
    19. A mod p kvadratikus maradékok, illetve k-adik hatványmaradékok száma. A kvadratikus reciprocitási tétel biz. nélkül, ennek alapján eljárás bármely Legendre-szimbólum meghatározására.
      Kongruenciák viszavezetése prímhatvány, ill. prím alapra, Hensel-lemma. Prímmodulusú kongruencia fokszámredukciója.
      Számelméleti függvények. (Totálisan) additív és multiplikatív függvények, kapcsolatuk, nevezetes példák, ezekre explicit képlet. A (totálisan) multiplikatív számelméleti függvények előírhatósági tétele. Multiplikatív függvény összegzési függvénye is az. Konvolúció tulajdonságai. Möbius-féle inverziós formula. A primitív n-edik egységgyökök összege.

    20. Diofantikus egyenletek. x2-y2=n, pitagoraszi számhármasok, x4+y4=z2. Rövid mese a Fermat-sejtésről, algebrai görbék racionális pontjairól és racionális paraméterezéséről.
    21. Eratoszthenészi szita. Nevezetes megoldatlan problémák: van-e végtelen sok ikerprím, Sophie Germain-prím, Mersenne-prím. A prímszámok reciprokösszege. A prímszámtétel (bizonyítás nélkül). Alsó és felső becslés egy adott korlátot meg nem haladó prímek számára nézve.