Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Második zárthelyi

A feladatokat külön lapra írjuk, és minden lapon legyen rajta olvashatóan a szerző és a gyakvezér neve. Valamennyi feladat 6 pontot ér, 30 pont biztosan elég a jeleshez, 12 az elégségeshez, feltéve ha van lényegében megoldott feladat (azaz amelyik legalább 5 pontot kapott). Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. Legyen θ az x^{3} − x + 2 polinom valamelyik gyöke. Határozzuk meg az α = 1/(θ + 1) szám kanonikus alakját a ℚ(θ) bővítésben, valamint az α fokát ℚ felett.

2. Határozzuk meg \sqrt[4]{5 + \sqrt[3]{−2}} fokát ℚ felett.

3. Legyen T = ℤ_{3}[x]/(x^{2} + 1), N = 0 + (x^{2} + 1), E = 1 + (x^{2} + 1) és A = x + (x^{2} + 1). Határozzuk meg a T testben az Ex^{2} + Nx + E polinom A-től különböző B gyökét, és az A rendjét T additív valamint multiplikatív csoportjában.

4. Adott az egységszakasz, és egy \sqrt[5]{5} hosszúságú szakasz. Szerkeszthető-e \sqrt{2} + \sqrt[5]{5}\sqrt[3]{3} hosszú szakasz?

5. Határozzuk meg 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} fokát ℚ felett.

6. Határozzuk meg az x^{15} − 1 polinom ℤ_{2} feletti felbontási testének elemszámát.

Mat-tanári gyakorlat, második évfolyam, második félév Második zárthelyi

A feladatokat külön lapra írjuk, és minden lapon legyen rajta olvashatóan a szerző és a gyakvezér neve. Valamennyi feladat 6 pontot ér, 30 pont biztosan elég a jeleshez, 12 az elégségeshez, feltéve ha van lényegében megoldott feladat (azaz amelyik legalább 5 pontot kapott). Valamennyi feladatban indoklás szükséges, a puszta eredményért nem jár pont.

1. Legyen θ az x^{3} − x + 2 polinom valamelyik gyöke. Határozzuk meg az α = 1/(θ + 1) szám kanonikus alakját a ℚ(θ) bővítésben, valamint az α fokát ℚ felett.

2. Határozzuk meg \sqrt[4]{5 + \sqrt[3]{−2}} fokát ℚ felett.

3. Legyen T = ℤ_{3}[x]/(x^{2} + 1), N = 0 + (x^{2} + 1), E = 1 + (x^{2} + 1) és A = x + (x^{2} + 1). Határozzuk meg a T testben az Ex^{2} + Nx + E polinom A-től különböző B gyökét, és az A rendjét T additív valamint multiplikatív csoportjában.

4. Adott az egységszakasz, és egy \sqrt[5]{5} hosszúságú szakasz. Szerkeszthető-e \sqrt{2} + \sqrt[5]{5}\sqrt[3]{3} hosszú szakasz?

5. Határozzuk meg 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} fokát ℚ felett.

6. Határozzuk meg az x^{15} − 1 polinom ℤ_{2} feletti felbontási testének elemszámát.